Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 15/latex

\setcounter{section}{15}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{} des \definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{} von zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \text{ und } \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
zwei \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{} der beiden Reihen durch
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}} { }
gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {,}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.} Bestimme \zusatzklammer {in Abhängigkeit von $z$} {} {} die \definitionsverweis {Summen}{}{} der beiden \definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0 }^\infty z^{2k} \text{ und } \sum_{k=0 }^\infty z^{2k+1}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4$ in der dritten \definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } }
{ =} {{ \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \right) }^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die durch die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} definierte reelle Funktion \maabbeledisp {\exp} {\R} {\R } {x} { \exp x } {,} nicht \definitionsverweis {nach oben beschränkt}{}{} ist und dass $0$ das \definitionsverweis {Infimum}{}{} \zusatzklammer {aber nicht das \definitionsverweis {Minimum}{}{}} {} {} der \definitionsverweis {Bildmenge}{}{} ist.\zusatzfussnote {Aus der Stetigkeit, die wir aber noch nicht bewiesen haben, folgt daraus, dass $\R_+$ das \definitionsverweis {Bild}{}{} der reellen Exponentialfunktion ist} {.} {}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit Konvergenzradius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n }
{ \defeq} { \begin{cases} a_n,\, \text{ falls } n \in I, \\ 0 \text{ sonst}, \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius
\mathl{\geq r}{} ist.

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} eine \definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_k }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die durch die Reihenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n }
{ \defeq} { c_{2n} + c_{2n+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte \definitionsverweis {Reihe}{}{} ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} eine \definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{} mit
\mathl{a_k \in \R_{\geq 0}}{.} Zeige, dass die durch
\mathdisp {y_n := \sum_{k \geq n/2 }^{n} a_k} { }
definierte \definitionsverweis {Folge}{}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^6$ in der \definitionsverweis {Produktreihe}{}{} $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ aus der \definitionsverweis {Sinusreihe}{}{} und der \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4,z^5$ in der vierten \definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } }
{ =} { { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \right) }^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Für $N \in \N$ und $z \in {\mathbb C}$ sei
\mathdisp {R_{N+1} (z) = \exp z - \sum_{n=0}^N \frac{ z^n}{n!} = \sum_{n=N+1}^\infty \frac{ z^n}{n!}} { }
das \stichwort {Restglied} {} der \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{.} Zeige, dass für $\betrag { z } \leq 1 + \frac{1}{2}N$ die \stichwort {Rest\-gliedabschätzung} {}
\mathdisp {\betrag { R_{N+1}(z) } \leq \frac{2}{(N+1)!} \betrag { z } ^{N+1}} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von
\mathdisp {\exp 1} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die durch die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} definierte \definitionsverweis {reelle Exponentialfunktion}{}{} die Eigenschaft besitzt, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{ \exp n }{n^d} \right) }_{ n \in \N }} { }
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{} gegen $+ \infty$ ist\zusatzfussnote {Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion \stichwort {schneller wächst} {} als jede Polynomfunktion} {.} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Beweise das Additionstheorem für den \definitionsverweis {Sinus}{}{,} also die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (z+w) }
{ =} { \sin z \, \cos w + \cos z \, \sin w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}