Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 15

Cauchy-Produkt von Reihen

Definition

Zu Reihen $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ und $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\text{ mit }{c}_k=\sum _{i=0}^k{a}_i{b}_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\text{ und }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$

zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ absolut konvergent und für die Summe gilt

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k\right).$

Beweis

Wir müssen für die Partialsummen

$x_n=\sum _{i=0}^n{a}_i,y_n=\sum _{j=0}^n{b}_j\text{ und }{z}_n=\sum _{k=0}^n{c}_k$

zeigen, dass $z_n$ gegen den Limes der Folge ${\left(x_n{y}_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert. Es ist

$\begin{array}{cc}|z_n-x_n{y}_n|& =|\sum _{k=0}^n{c}_k-\left(\sum _{i=0}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=0}^n{b}_j\right)|\\ & =|\sum _{0\le i,j\le n,i+j>n}{a}_i{b}_j|\\ & \le \sum _{0\le i,j\le n,i+j>n}|a_i||b_j|\\ & \le (\sum _{n/2<i\le n}|a_i|)(\sum _{j=0}^n|b_j|)+(\sum _{n/2<j\le n}|b_j|)(\sum _{i=0}^n|a_i|)\\ & \le (\sum _{n/2<i\le n}|a_i|)(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}|b_j|)+(\sum _{n/2<j\le n}|b_j|)(\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}|a_i|).\end{array}$

Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und $\sum _{n/2<i\le n}|a_i|$ und $\sum _{n/2<j\le n}|b_j|$ nach Aufgabe 9.15 Nullfolgen sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ nach Aufgabe . gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung  $|c_k|\le \sum _{i=0}^k|a_i||b_{k-i}|$. 

$◻$

Potenzreihen

Definition

Es sei ${\left(c_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge von komplexen Zahlen und $z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$

die Potenzreihe in $z$ zu den Koeffizienten ${\left(c_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$.

Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl $z\in ℂ$, $z\ne 0$, ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man $z$ variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in $z$ darstellt.

Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $0$. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $a\in ℂ$ ist ein Ausdruck der Form

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n.$

Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$, die für $|z|<1$ konvergiert und dort die Funktion $1/(1-z)$ darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.

Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion

Definition

Für jedes  $z\in ℂ$  heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

die Exponentialreihe in $z$.

Dies ist also die Reihe

$1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^4}{24}+\frac{z^5}{120}+\frac{z^6}{720}+\frac{z^7}{5040}+\cdots .$

Satz

Für jedes  $z\in ℂ$  ist die Exponentialreihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

absolut konvergent.

Beweis

Für  $z=0$  ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

$|\frac{\frac{z^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{z^n}{n!}}|=|\frac{z}{n+1}|=\frac{|z|}{n+1}.$

Dies ist für  $n\ge 2|z|$  kleiner als $1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.

$◻$

Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion

Definition

Die Abbildung

$ℂ⟶ℂ,z⟼\exp z:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!},$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

 Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die Exponentialfunktion zur Basis

$\exp 1=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots$

ist, und dass $\exp 1$ mit der früher eingeführten eulerschen Zahl $e$ übereinstimmt (Korollar 16.11

und Korollar 20.14).

Die folgende Aussage nennt man die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion.

Satz

Für komplexe Zahlen  $z,w\in ℂ$  gilt

$\exp (z+w)=\exp z\cdot \exp w.$

Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$

mit  $c_n=\sum _{i=0}^n\frac{z^i}{i!}\frac{w^{n-i}}{(n-i)!}$.  Diese Reihe ist nach Lemma 15.2 absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von $z+w$ nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

$\frac{(z+w{)}^n}{n!}=\frac{1}{n!}\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})z^i{w}^{n-i}=c_n,$

sodass die beiden Seiten übereinstimmen.

$◻$

Korollar

Die Exponentialfunktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\exp z,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist  $\exp 0=1$. 
2. Für jedes  $z\in ℂ$  ist  $\exp (-z)=(\exp z{)}^{-1}$.  Insbesondere ist  $\exp z\ne 0$. 
3. Für ganze Zahlen  $n\in \mathbb{Z}$  ist  $\exp n=(\exp 1{)}^n$. 
4. Für reelles $z$ ist  $\exp z\in {ℝ}_{+}$. 
5. Für reelle Zahlen  $z>0$  ist  $\exp z>1$  und für  $z<0$  ist  $\exp z<1$. 
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

$\exp z\cdot \exp (-z)=\exp (z-z)=\exp 0=1$

aufgrund von Satz 15.7.
(3) folgt aus Satz 15.7 und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in $ℂ$ abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus

$\exp z=\exp (\frac{z}{2}+\frac{z}{2})=\exp \frac{z}{2}\cdot \exp \frac{z}{2}={(\exp \frac{z}{2})}^2\ge 0.$

(5). Für  $x>0$  ist

$\exp x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n=1+x+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n>1,$

da alle Summanden positiv sind. Wegen (4) ist  $\exp x\cdot \exp (-x)=1$,  sodass der andere Faktor $\le 1$ sein muss.
(6). Für reelle  $x>y$  ist  $x-y>0$  und daher nach (5)  $\exp (x-y)>1$,  also

$\exp x=\exp (x-y+y)=\exp (x-y)\exp y>\exp y.$

$◻$

Die trigonometrischen Reihen

Definition

Für  $z\in ℂ$  heißt

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}$

die Kosinusreihe und

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

die Sinusreihe zu $z$.

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes $z$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen

$\cos z:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}\text{ und }\sin z:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.

Satz

Die Funktionen

$ℂ⟶ℂ,z⟼\cos z,$

und

$ℂ⟶ℂ,z⟼\sin z,$

besitzen für  $z,w\in ℂ$  folgende Eigenschaften.

1. Für  $z=x+\mathrm{i}y$  ist

   $\exp z=(\exp x)(\cos y+\mathrm{i}\sin y).$

   Speziell gilt die eulersche Formel

   $\exp \mathrm{i}y=\cos y+\mathrm{i}\sin y.$

2. Es ist $\cos 0=1$ und $\sin 0=0$.
3. Es ist{{ Zusatz/ |text=Die Kosinusfunktion ist also eine gerade Funktion und die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion | |ISZ=.|ESZ= }} $\cos (-z)=\cos z$ und $\sin (-z)=-\sin z$.
4. Es ist

   $\cos z=\frac{\exp \left(\mathrm{i}z\right)+\exp (-\mathrm{i}z)}{2}$

   und

   $\sin z=\frac{\exp \left(\mathrm{i}z\right)-\exp (-\mathrm{i}z)}{2\mathrm{i}}.$

5. Es gelten die Additionstheoreme

   $\cos (z+w)=\cos z\cos w-\sin z\sin w$

   und

   $\sin (z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w.$

6. Es gilt

   $(\cos z{)}^2+(\sin z{)}^2=1.$

Beweis

(1). Aufgrund von Satz 15.7 gilt

$\exp (x+\mathrm{i}y)=\exp x\cdot \exp \left(\mathrm{i}y\right),$

sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe 15.8 und Lemma 9.4  (1) gilt

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\mathrm{i}y{)}^n}{n!}& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{(\mathrm{i}y{)}^{2k}}{(2k)!}+\frac{(\mathrm{i}y{)}^{2k+1}}{(2k+1)!})\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{i}}^{2k}\frac{y^{2k}}{(2k)!}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{i}}^{2k+1}\frac{y^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{y^{2k}}{(2k)!}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{i}(-1{)}^k\frac{y^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{y}^{2k}}{(2k)!}+\mathrm{i}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{y}^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =\cos y+\mathrm{i}\sin y.\end{array}$

(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(4) folgt aus (1) und (3).
(5). Nach (4) ist

$\begin{array}{cc}\cos (z+w)& =\frac{\exp (\mathrm{i}(z+w))+\exp (-\mathrm{i}(z+w))}{2}\\ & =\frac{\exp \left(\mathrm{i}z\right)\exp \left(\mathrm{i}w\right)+\exp (-\mathrm{i}z)\exp (-\mathrm{i}w)}{2}\\ & =\frac{1}{2}((\cos z+\mathrm{i}\sin z)(\cos w+\mathrm{i}\sin w)+(\cos z-\mathrm{i}\sin z)(\cos w-\mathrm{i}\sin w))\\ & =\frac{1}{2}(\cos z\cos w+\mathrm{i}(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w\\ & +\cos z\cos w-\mathrm{i}(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w)\\ & =\cos z\cos w-\sin z\sin w.\end{array}$

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf  $w=-z$  und aufgrund von (2) ergibt sich

$1=\cos 0=\cos (z-z)=\cos z\cos (-z)-\sin z\sin (-z)=\cos z\cos z+\sin z\sin z.$

$◻$

Für reelle $z$ sind $\sin z$ und $\cos z$ wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles $z$ das Paar $(\cos z,\sin z)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis $\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}$ ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als $(\cos z,\sin z)$ schreiben lässt, wobei man $z$ als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode $2\pi$ auf, wobei wir die Kreiszahl $\pi$ eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.

Fußnoten

<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)