Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 29/latex

\setcounter{section}{29}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde sämtliche \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { - \frac{y}{t} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde sämtliche \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { { \frac{ y }{ t^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde sämtliche \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { e^t y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { y+7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = y + { \frac{ \sinh t }{ \cosh^{ 2 } t } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { g(t) y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{} mit einer \definitionsverweis {unendlich oft differenzierbaren Funktion}{}{}
\mathl{g}{} und es sei $y$ eine differenzierbare \definitionsverweis {Lösung}{}{.}

a) Zeige, dass
\mathl{y}{} ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für einen Zeitpunkt $t_0$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 18.21, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^{(n)}(t_0) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} gilt.

}
{} {}

Die folgende Aussage nennt man das \stichwort {Superpositionsprinzip} {} für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und seien \maabbdisp {g,h_1,h_2} {I} {\R } {} Funktionen. Es sei $y_1$ eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y' }
{ = }{ g(t) y +h_1(t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei $y_2$ eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} der \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y' }
{ = }{ g(t) y +h_2(t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mathl{y_1+y_2}{} eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { g(t)y +h_1(t) +h_2(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige durch Nachrechnen, dass die in Beispiel 29.7 gefundenen Funktionen
\mathdisp {y(t)= c \frac{\sqrt{t-1} }{\sqrt{t+1} }} { }
die \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=y/(t^2-1)} { }
erfüllen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { { \frac{ y }{ t^2(t-1) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Finde alle \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } }} { . }

b) Finde alle \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7} { . }

c) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7 \text{ und } y(1)= 5} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Finde alle \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + (t^2-3) \cos t} { }
für
\mathl{t \in {]{- { \frac{ \pi }{ 2 } }} , { \frac{ \pi }{ 2 } } [}}{.}

b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + ( t^2-3 ) \cos t \text{ mit } y(0)=7} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { { \frac{ 2t }{ t^2+1 } } y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { { \frac{ 2t }{ t^2+1 } } y+t^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R_+ } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde eine \definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{,} für die $f$ eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde sämtliche \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { \frac{y}{t^2-3} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = (t+2)y+t \exp { \left( \frac{1}{2}t^2+2t \right) }} { . }
Welche Lösung hat das Anfangswertproblem $y(1)=\pi$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= \frac{t}{t^2+2} y \text{ mit } y(3) = 7} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = y+e^{2t}-4e^{-3t}+1} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Finde die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der \definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } + { \frac{ t^3-2t+5 }{ t^2-3 } }} { . }

}
{} {}