Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 29

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung


Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung


Aufgabe

Es sei

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion und es sei eine differenzierbare Lösung.

a) Zeige, dass ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei für einen Zeitpunkt . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 18.21, dass für alle gilt.


Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.

Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und seien

Funktionen. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung und es sei eine Lösung der Differentialgleichung . Zeige, dass dann eine Lösung der Differentialgleichung

ist.


Aufgabe

Bestätige durch Nachrechnen, dass die in Beispiel 29.7 gefundenen Funktionen

die Differentialgleichung

erfüllen.


Aufgabe *

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

für .


Aufgabe *

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()

c) Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe *

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

für .

b) Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe *

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung


Aufgabe *

Es sei

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ?


Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung


Aufgabe (5 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung



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