Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 5/latex

\setcounter{section}{5}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2 }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es in $\Q$ kein Element $x$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2 }
{ = }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=3$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch \zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass $K$ genau dann \definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Folge}{}{} der \definitionsverweis {Stammbrüche}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } },\, n \geq 1}{,} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die folgenden \zusatzklammer {Pseudo} {} {-}Definitionen.

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} und es sei
\mathl{x \in K}{.}

\aufzaehlungacht{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {hypervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} und alle
\mathl{n \in \N}{} gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {supervergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon \geq 0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {megavergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Es gibt ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} und jedes
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {pseudovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n \in \N}{} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {semivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} und jedem
\mathl{n_0 \in \N}{} gibt es ein
\mathl{n \in \N}{,}
\mathl{n \geq n_0}{,} derart, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {protovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} derart, dass für alle
\mathl{n \in \N}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {quasivergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Es gibt ein
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} und ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ \definitionswort {deuterovergiert} {,} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n-x }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }

Vergleiche diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation \zusatzklammer {Beweis oder Gegenbeispiel} {} {?} Für welche Definitionen ist das $x$ eindeutig bestimmt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine gegen $x$ konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen $x$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Folge}{}{,} die nicht konvergiert, aber eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man untersuche die folgenden Teilmengen $M \subseteq \Q$ auf die Begriffe \definitionsverweis {obere Schranke}{}{,} \definitionsverweis {untere Schranke}{}{,} \definitionsverweis {Supremum}{}{,} \definitionsverweis {Infimum}{}{,} \definitionsverweis {Maximum}{}{} und \definitionsverweis {Minimum}{}{.} \aufzaehlungneun{ $\{2,-3,-4,5,6,-1,1\}$, }{ $\left \{\frac{1}{2},\frac{-3}{7} , \frac{-4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{6}{13} , \frac{-1}{3}, \frac{1}{4} \right \}$, }{ $]-5, 2]$, }{ ${ \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \N_+ \right\} }$, }{ ${ \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}$, }{ $\Q_-$, }{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \leq 2 \right\} }$, }{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \leq 4 \right\} }$, }{ ${ \left\{ x^2 \mid x \in \Z \right\} }$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $M \subseteq K$ eine Teilmenge, die ein Supremum $T$ besitze. Zeige, dass $T$ genau dann das Maximum von $M$ ist, wenn $T \in M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr
\mathl{7:21}{} \zusatzklammer {die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe} {} {.} Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie
\mathl{7:26}{} an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.

}
{} {}

In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der \definitionswort {Fibonacci-Zahlen}{} $f_n$ ist rekursiv definiert durch
\mathdisp {f_1 \defeq 1 \, , f_2 \defeq 1 \text{ und } f_{n+2} \defeq f_{n+1} +f_{n}} { . }

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise durch Induktion die \stichwort {Simpson-Formel} {} oder Simpson-Identität für die \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{} $f_n$. Sie besagt \zusatzklammer {für \mathlk{n \geq 2}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_{n+1} f_{n-1} - f_n^2 }
{ =} {(-1)^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise durch Induktion die \stichwort {Binet-Formel} {} für die \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{.} Diese besagt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n }
{ =} { \frac{ { \left( \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right) }^n - { \left( \frac{1-\sqrt{5} }{2} \right) }^n}{\sqrt{5} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $K$ mit
\mathl{x_n >0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass die Folge genau dann \definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{} gegen $+ \infty$ ist, wenn ${ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }$ gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} für die es sowohl eine \definitionsverweis {bestimmt}{}{} gegen $+ \infty$ als auch eine bestimmt gegen $- \infty$ divergente \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine bestimmt gegen $+\infty$ \definitionsverweis {divergente}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} in $K$ \definitionsverweis {nach unten beschränkt}{}{} ist.

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} die nach unten, aber nicht nach oben beschränkt ist, und die nicht bestimmt divergent gegen $+ \infty$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Häufungspunkte der Folge
\mathl{(a_n)_{n \in \N}}{}, welche durch
\mathdisp {a_n = (-1)^n \left(1- \frac{1}{n} \right) - \frac{1}{n}} { }
gegeben ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $K$ mit \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $x$. Zeige, dass dann auch die Folge
\mathdisp {{ \left( \betrag { x_n } \right) }_{ n \in \N }} { }
konvergiert, und zwar gegen $\betrag { x }$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq} {x^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ mit
\mathbed {x_n \neq 0} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} und mit $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert, }{gegen $1$ konvergiert, }{divergiert.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{.} Zeige, dass $x$ genau dann ein \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} der Folge ist, wenn es eine gegen $x$ \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} gibt.

}
{} {}