Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 6

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge in ${}K$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge in ${}K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge ${}(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 6.1.

Für die folgende Aufgabe brauchen wir den Begriff der Polynomfunktion.

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{d}\in K$. Eine Funktion

$P\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto P(x),$

mit

${}P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{d}x^{d}\,$

heißt Polynomfunktion.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ eine Polynomfunktion. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$. Zeige durch Induktion über ${}d$, dass dann auch die durch

${}y_{n}:=P(x_{n})\,$

definierte Folge konvergiert, und zwar gegen ${}P(x)$.

Aufgabe *

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$, die (in ${}\mathbb {Q}$) nicht konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ beschränkt ist.

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl und ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$. Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

${}x_{n+1}:={\frac {x_{n}+a/x_{n}}{2}}\,$

gegen ${}{\sqrt {a}}$ konvergiert.

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge ${}T\subseteq K$ heißt ein Abschnitt, wenn für alle ${}a,b\in T$ mit ${}a\leq b$ und jedes ${}x\in K$ mit ${}a\leq x\leq b$ auch ${}x\in T$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ${}K$ ein Abschnitt ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in ${}\mathbb {Q}$, der kein Intervall ist.

Zeige, dass in ${}\mathbb {R}$ jeder Abschnitt ein Intervall ist.

Die folgende Aufgabe setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei

${}V=K^{\mathbb {N} _{+}}\,$

der Vektorraum aller Folgen in ${}K$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

${}U={\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}\mid (x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}{\text{ konvergiert gegen 0}}\right\}}\,$

ein ${}K$- Untervektorraum von ${}V$ ist.

b) Sind die beiden Folgen

$(1/n)_{n\in \mathbb {N} _{+}}{\text{ und }}(1/n^{2})_{n\in \mathbb {N} _{+}}$

linear unabhängig in ${}V$?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die durch

${}y_{n}:={\frac {x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}\,$

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die beiden im Wikipediaartikel „Dedekindscher Schnitt“ in der aktuellen Version (Version vom 4.10.2013 https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Dedekindscher_Schnitt&oldid=123123410) angegebenen Definitionen nicht wie dort behauptet zueinander äquivalent sind. Man gebe jeweils Beispiele an, die die eine, aber nicht die andere Definition erfüllen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und seien ${}P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ und ${}Q(x)=\sum _{i=0}^{e}b_{i}x^{i}$ Polynome mit ${}a_{d},b_{e}\neq 0$. Man bestimme in Abhängigkeit von ${}d$ und ${}e$, ob die durch

$z_{n}={\frac {P(n)}{Q(n)}}$

(für ${}n$ hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und sei ${}P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ ein Polynom mit ${}d\geq 1$ und ${}a_{d}\neq 0$ . Zeige, dass dann die durch

${}y_{n}:=P(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}n^{i}\,$

definierte Folge bestimmt gegen ${}+\infty$ divergiert, falls ${}a_{d}>0$ ist, und bestimmt gegen ${}-\infty$ divergiert, falls ${}a_{d}<0$ ist.

Man folgere, dass die Folgenglieder

${\frac {1}{y_{n}}}$

für ${}n$ hinreichend groß definiert sind und gegen ${}0$ konvergieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge der Fibonacci-Zahlen und

${}x_{n}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\,.$

Zeige, dass diese Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und dass der Grenzwert ${}x$ die Bedingung

${}x=1+x^{-1}\,$

erfüllt. Berechne daraus ${}x$.

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.