Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper, es sei eine Nullfolge in und eine beschränkte Folge in . Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.


Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 6.1.


Für die folgende Aufgabe brauchen wir den Begriff der Polynomfunktion.

Es sei ein Körper und seien . Eine Funktion

mit

heißt Polynomfunktion.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Polynomfunktion. Es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige durch Induktion über , dass dann auch die durch

definierte Folge konvergiert, und zwar gegen .


Aufgabe *

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.


Aufgabe

Sei eine nichtnegative reelle Zahl und . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

gegen konvergiert.


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es sei ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge heißt ein Abschnitt, wenn für alle mit und jedes mit auch ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ein Abschnitt ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in , der kein Intervall ist.

Zeige, dass in jeder Abschnitt ein Intervall ist.


Die folgende Aufgabe setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.

Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und sei

der Vektorraum aller Folgen in (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

ein -Untervektorraum von ist.

b) Sind die beiden Folgen

linear unabhängig in ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die beiden im Wikipediaartikel „Dedekindscher Schnitt“ in der aktuellen Version (Version vom 4.10.2013 https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Dedekindscher_Schnitt&oldid=123123410) angegebenen Definitionen nicht wie dort behauptet zueinander äquivalent sind. Man gebe jeweils Beispiele an, die die eine, aber nicht die andere Definition erfüllen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und seien und Polynome mit . Man bestimme in Abhängigkeit von und , ob die durch

(für hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und sei ein Polynom mit und . Zeige, dass dann die durch

definierte Folge bestimmt gegen divergiert, falls ist, und bestimmt gegen divergiert, falls ist.

Man folgere, dass die Folgenglieder

für hinreichend groß definiert sind und gegen konvergieren.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.


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