Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 5

Heron von Alexandria (1. Jahrhundert n.C.)

Folgen in einem angeordneten Körper

Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel.

Beispiel

Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl „berechnen“, sagen wir von $5$. Eine solche Zahl $x$ mit der Eigenschaft $x^2=5$ gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. In jedem angeordneten Körper $K$ gibt es eine $5$, ob es aber ein solches $x$ gibt ist eine nichttriviale zusätzliche Eigenschaft von $K$. Wenn es in $K$ eine solches $x$ gibt, so hat auch $-x$ diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nicht geben, siehe Aufgabe 5.1, sodass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.

Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung $x^2=5$ gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler (oder die Abweichung) unterhalb jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzeln beliebig anzunähern, ist das Heron-Verfahren, das man auch babylonisches Wurzelziehen nennt. Dies ist ein iteratives Verfahren, d.h. die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit $a=x_0=2$ als erster Näherung. Wegen

$x_0^2=2^2=4<5$

ist $x_0$ zu klein, d.h. es ist $x_0<x$, wobei diese Ungleichung (zunächst) nur Sinn ergibt, wenn $x$ in $K$ existiert. Aus $a^2<5$ (mit $a$ positiv) folgt zunächst $5/a^2>1$ und daraus $(5/a{)}^2>5$, d.h. $5/a>\sqrt{5}$. Man hat also die Abschätzungen

$a<\sqrt{5}<5/a,$

wobei rechts eine rationale Zahl steht, wenn links eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo $\sqrt{5}$ liegt, und zwar unabhängig davon, ob $\sqrt{5}$ zu $K$ gehört oder nicht, solange nur $a$ dazu gehört. Die Differenz $5/a-a$ ist ein Maß für die Güte der Approximation.

Beim Startwert $2$ ergibt sich, dass die Quadratwurzel von $5$ zwischen $2$ und $5/2$ liegt. Man nimmt das arithmetische Mittel der beiden Intervallgrenzen, also

$x_1=\frac{2+\frac{5}{2}}{2}=\frac{9}{4}.$

Wegen  ${\left(\frac{9}{4}\right)}^2=\frac{81}{16}>5$  ist dieser Wert zu groß und daher liegt $\sqrt{5}$ im Intervall $[5\cdot \frac{4}{9},\frac{9}{4}]$. Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt

$x_2=\frac{5\cdot \frac{4}{9}+\frac{9}{4}}{2}=\frac{161}{72}$

als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende Approximation von $\sqrt{5}$.

Allgemein ergibt sich das folgende Heron-Verfahren.

Beispiel

Beim Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von $\sqrt{c}$ einer positiven Zahl $c$ geht man iterativ wie folgt vor. Man startet mit einem beliebigen positiven Startwert $x_0$ und berechnet davon das arithmetische Mittel aus $x_0$ und $\frac{c}{x_0}$. Dieses Mittel nennt man $x_1$. Es gilt

$x_1^2-c={\left(\frac{x_0+\frac{c}{x_0}}{2}\right)}^2-c=\frac{x_0^2+2c+\frac{c^2}{x_0^2}}{4}-c=\frac{x_0^2-2c+\frac{c^2}{x_0^2}}{4}={\left(\frac{x_0-\frac{c}{x_0}}{2}\right)}^2\ge 0.$

D.h. dass $x_1$ mindestens so groß wie $\sqrt{c}$ ist. Auf $x_1$ wendet man iterativ das gleiche Verfahren an und erhält so $x_2$ usw. Die rekursive Definition von $x_{n+1}$ lautet also

$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{c}{x_n}}{2}.$

Nach Konstruktion weiß man, dass $\sqrt{c}$ in jedem Intervall $[c/x_n,x_n]$ (für $n\ge 1$) liegt, da aus  $x_n^2\ge c$  direkt  ${\left(\frac{c}{x_n}\right)}^2=\frac{c^2}{x_n^2}\le \frac{c^2}{c}=c$  folgt. Bei jedem Schritt gilt

$[\frac{c}{x_{n+1}},x_{n+1}]\subseteq [\frac{c}{x_n},x_n],$

d.h. das Nachfolgerintervall liegt innerhalb des Vorgängerintervalls. Dabei wird bei jedem Schritt die Intervalllänge mindestens halbiert.

Das eben beschriebene Verfahren liefert also zu jeder natürlichen Zahl $n$ ein Element in $K$, das eine durch eine gewisse algebraische Eigenschaft charakterisierte Zahl beliebig gut approximiert. Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, gewisse Zahlen nur hinreichend genau zu kennen, wobei allerdings die benötigte Güte der Approximation von der technischen Zielsetzung abhängt. Es gibt im Allgemeinen keine Güte, die für jede vorstellbare Anwendung ausreicht, so dass es wichtig ist zu wissen, wie man eine gute Approximation durch eine bessere Approximation ersetzen kann und wie viele Schritte man machen muss, um eine gewünschte Approximation zu erreichen. Dies führt zu den Begriffen Folge und Konvergenz.

Definition

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung

$\mathbb{N}⟶M,n⟼x_n,$

nennt man auch eine Folge in $M$.

Eine Folge wird zumeist als ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$, oder einfach nur kurz als $(x_n{)}_n$ geschrieben. Im Folgenden beschränken wir auf Folgen, deren Werte in einem angeordneten Körper liegen, speziell in $ℝ$ (reelle Folge), später werden wir auch mit Folgen in metrischen Räumen arbeiten. Manchmal sind Folgen nicht für alle natürlichen Zahlen definiert, sondern nur für alle natürlichen Zahlen $\ge N$. Alle Begriffe und Aussagen lassen sich dann sinngemäß auch auf diese Situation übertragen.

Der folgende Begriff ist zentral.

Definition

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei  $x\in K$.  Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ>0$, gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Beziehung

$|x_n-x|\le ϵ$

gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Man sollte sich dabei das vorgegebene $ϵ$ als eine kleine, aber positive Zahl vorstellen, die eine gewünschte Zielgenauigkeit (oder erlaubten Fehler) ausdrückt. Die natürliche Zahl $n_0$ ist dann die Aufwandszahl, die beschreibt, wie weit man gehen muss, um die gewünschte Zielgenauigkeit zu erreichen, und zwar so zu erreichen, dass alle ab $n_0$ folgenden Glieder innerhalb dieser Zielgenauigkeit bleiben. Konvergenz bedeutet demnach, dass man jede gewünschte Genauigkeit bei hinreichend großem Aufwand auch erreichen kann. Je kleiner die Zielgenauigkeit, also je besser die Approximation sein sollen, desto höher ist im Allgemeinen der Aufwand.

Zu einem $ϵ>0$ und $x\in K$ nennt man das Intervall $]x-ϵ,x+ϵ[$ auch die $ϵ$-Umgebung von $x$. Eine Folge, die gegen $0$ konvergiert, heißt Nullfolge.

Beispiel

Eine konstante Folge  $x_n=c$  ist stets konvergent mit dem Grenzwert $c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes  $ϵ>0$  als Aufwandszahl  $n_0=0$  nehmen kann. Es ist ja

$|x_n-c|=|c-c|=|0|=0<ϵ$

für alle $n$.

Es sei nun $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge

$x_n=\frac{1}{n}$

konvergent mit dem Grenzwert $0$. Es sei dazu ein beliebiges $ϵ\in K$, $ϵ>0$, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes-Axioms (siehe Lemma 4.13) gibt es ein $n_0$ mit

$\frac{1}{n_0}\le ϵ.$

Damit gilt für alle  $n\ge n_0$  die Abschätzung

$x_n=\frac{1}{n}\le \frac{1}{n_0}\le ϵ.$

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $K$.

Dann besitzt $x_n$ maximal einen Grenzwert.

Beweis

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte $x,y$, $x\ne y$, gibt. Dann ist  $d:=|x-y|>0$.  Wir betrachten  $ϵ:=d/3>0$.  Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_0$ mit

$|x_n-x|\le ϵ\text{ für }\text{alle }n\ge n_0$

und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein ${n_0}^{\prime }$ mit

$|x_n-y|\le ϵ\text{ für }\text{alle }n\ge {n_0}^{\prime }.$

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für  $n\ge max\{n_0,{n_0}^{\prime }\}$.  Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

$d=|x-y|\le |x-x_n|+|x_n-y|\le ϵ+ϵ=2d/3.$

$◻$

Beschränktheit

Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $M\subseteq K$  eine Teilmenge.

1. Ein Element  $S\in K$  heißt eine obere Schranke für $M$, wenn  $x\le S$  für alle  $x\in M$  gilt.
2. Ein Element  $s\in K$  heißt eine untere Schranke für $M$, wenn  $x\ge s$  für alle  $x\in M$  gilt.
3. $M$ heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für $M$ existiert .
4. $M$ heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für $M$ existiert.
5. $M$ heißt beschränkt , wenn $M$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
6. Ein Element  $T\in M$  heißt das Maximum von $M$, wenn  $T\ge x$  für alle  $x\in M$  gilt.
7. Ein Element  $t\in M$  heißt das Minimum von $M$, wenn  $t\le x$  für alle  $x\in M$  gilt.
8. Eine obere Schranke $T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn  $T\le S$  für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
9. Eine untere Schranke $t$ von $M$ heißt das Infimum von $M$, wenn  $t\ge s$  für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.

Obere und untere Schranken muss es nicht geben. Wenn $S$ eine obere Schranke ist, so ist auch jede größere Zahl eine obere Schranke. Für das offene Intervall $]0,1[$ ist $1$ das Supremum, aber nicht das Maximum, da $1$ nicht dazu gehört. Entsprechend ist $0$ das Infimum, aber nicht das Minimum. Beim abgeschlossenen Intervall $[0,1]$ sind die beiden Grenzen Maximum und Minimum.

All diese Begriffe werden auch für Folgen angewendet, und zwar für die Bildmenge $\{x_n\mid n\in \mathbb{N}\}$. Für die Folge $1/n$, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, ist $1$ das Maximum und das Supremum, $0$ ist das Infimum, aber nicht das Minimum.

Lemma

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in $K$ konvergent ist,

so ist sie auch beschränkt.

Beweis

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die konvergente Folge mit dem Limes  $x\in K$  und es sei ein  $ϵ>0$  gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass

$|x_n-x|\le ϵ\text{ für alle }n\ge n_0.$

Dann ist insbesondere

$|x_n|\le |x|+|x-x_n|\le |x|+ϵ\text{ für alle }n\ge n_0.$

Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum

$B:=\underset{n<n_0}{max}\{|x_n|,|x|+ϵ\}$

wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $-B$ eine untere Schranke für $\{x_n\mid n\in \mathbb{N}\}$.

$◻$

Es ist einfach, beschränkte, aber nicht konvergente Folgen anzugeben.

Beispiel

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei $c\in K$, $c\ne 0$. Dann ist die alternierende Folge

$x_n=(-1{)}^{n}c$

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus

$|x_n|=|(-1{)}^n||c|=|c|.$

Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass  $x\ge 0$  der Grenzwert sei. Dann gilt für positives  $ϵ<|c|$  und jedes ungerade $n$ die Beziehung

$|x_n-x|=c+x\ge c>ϵ,$

sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $ϵ$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommenen Grenzwert zum Widerspruch führen.

Wenn man im obigen Beispiel $x_n=(-1{)}^{n}c$ nur die geraden Indizes betrachtet, so ist $x_{2n}=c$ konstant. Entsprechend ist für ungerade Indizes $x_{2n+1}=-c$ konstant. Teilfolgen im Sinne der folgenden Definition können also ziemlich andere Eigenschaften als die Folge selbst besitzen.

Definition

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $K$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb{N}⟶\mathbb{N}$, $i⟼n_i$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_i}$

eine Teilfolge der Folge.

Definition

Eine Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in einem angeordneten Körper $K$ heißt bestimmt divergent gegen $+\mathrm{\infty }$, wenn es zu jedem  $s\in K$  ein  $N\in \mathbb{N}$  mit

$x_n\ge s\text{ für alle }n\ge N$

gibt. Sie heißt bestimmt divergent gegen $-\mathrm{\infty }$, wenn es zu jedem  $s\in K$  ein  $N\in \mathbb{N}$  mit

$x_n\le s\text{ für alle }n\ge N$

gibt.

Definition

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine reelle Folge. Eine reelle Zahl  $x\in ℝ$  heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes  $ϵ>0$  unendlich viele Folgenglieder $x_n$ mit  $|x_n-x|\le ϵ$  gibt.

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