Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen ${}{\frac {3}{8}}$ und ${}{\frac {7}{8}}$ liegen.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Q}$ mit der durch ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei $b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls ${}ad\geq cb$ in ${}\mathbb {Z}$ gilt, definierten Beziehung ein angeordneter Körper ist (dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf ${}\mathbb {Z}$ verwendet werden).

Aufgabe *

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen ${}p$ und ${}q$ größer ist.

$p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$

Aufgabe *

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe *

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x\in K$. Zeige, dass ${}x>0$ genau dann gilt, wenn ${}-x<0$ ist.

(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes ${}x\in K$ die Beziehung ${}x^{2}=xx\geq 0$ gilt.

Aufgabe

Beweise die folgenden Aussagen:

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}1>0$,
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$,
3. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>y$. Zeige, dass dann ${}-x<-y$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>0$. Zeige, dass auch das inverse Element ${}x^{-1}$ positiv ist.

Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x\geq 1$. Zeige, dass für das inverse Element ${}x^{-1}\leq 1$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>y>0$. Zeige, dass für die inversen Elemente ${}x^{-1}<y^{-1}$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass der in Aufgabe 3.19 konstruierte Körper ${}K$ nicht angeordnet werden kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 3.6 eingeführte Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto n_{K},$

injektiv ist.

Aufgabe

Zeige die Abschätzung

${}{\binom {d+n}{n}}\geq {\left({\frac {d}{n}}\right)}^{n}\,.$

Aufgabe

Zeige die Abschätzung

${}2n^{n}\leq (n+1)^{n}\,$

für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe

Zeige die Abschätzung

${}n!\leq {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{n}\,$

für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}x<y$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass für das arithmetische Mittel ${}{\frac {x+y}{2}}$ die Beziehung

${}x<{\frac {x+y}{2}}<y\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)

${}\vert {4x-3}\vert <\vert {2x-3}\vert \,.$

b)

${}\vert {\frac {x-2}{3x-1}}\vert \leq 1\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in ${}K$ die (positiven) Elemente ${}8^{1/2}$ und ${}25^{1/3}$ existieren. Welches ist größer?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

$K\times K\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

in einem angeordneten Körper (dabei seien ${}x,y$ beliebige Elemente in ${}K$).

1. Es ist ${}\vert {x}\vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.
3. Es ist ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.
4. Es ist ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$.
5. Es ist ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$.
6. Für ${}x\neq 0$ ist ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$.
7. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

${[n,n+1[}={\left\{x\in K\mid x\geq n{\text{ und }}x<n+1\right\}},\,n\in \mathbb {Z} ,$

eine disjunkte Überdeckung von ${}K$ bilden.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, bei dem eine Teilmenge ${}P\subseteq K$ ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

1. Für ${}x\in K$ ist entweder ${}x\in P$ oder ${}-x\in P$ oder ${}x=0$.
2. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x+y\in P$.
3. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x\cdot y\in P$.

Zeige, dass durch die Festlegung

$x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x-y\in P$

ein angeordneter Körper entsteht.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe 3.6 konstruierte Zuordnung ${}\mathbb {Z} \rightarrow K$.

a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.

b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung ${}\mathbb {Q} \rightarrow K$ fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in ${}\mathbb {Q}$ mit den Verknüpfungen in ${}K$ übereinstimmen und die Ordnung auf ${}\mathbb {Q}$ mit der Ordnung auf ${}K$ übereinstimmt.

Aufgabe (8 (2+4+1+1) Punkte)

Betrachte die Menge

$K={\left\{p+q{\sqrt {5}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}},$

wobei ${}{\sqrt {5}}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ${}{\sqrt {5}}^{2}=5$ ist und dass ${}K$ zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass ${}K$ zu einem angeordneten Körper wird und dass ${}{\sqrt {5}}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von ${}K$ als Punkte im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ auf. Skizziere eine Trennlinie im ${}\mathbb {Q} ^{2}$, die die positiven von den negativen Elementen in ${}K$ trennt.

d) Ist das Element ${}23-11{\sqrt {5}}$ positiv oder negativ?

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten ${}n=3$ gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in K$ Elemente. Zeige, dass dann

${}\vert {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\vert \leq \sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,$

gilt.