Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 1

Mengen

Georg Cantor (1845-1918) ist der Schöpfer der Mengentheorie.

David Hilbert (1862-1943) nannte sie ein Paradies, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen.

Eine Menge ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die Elemente der Menge heißen. Mit „wohlunterschieden“ meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die Zugehörigkeit eines Elementes $x$ zu einer Menge $M$ wird durch

$x\in M$

ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch

$x\notin M.$

Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten.

Für Mengen gilt das Extensionalitätsprinzip, d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten.

Die Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge und wird mit

$\mathrm{\varnothing }$

bezeichnet.

Eine Menge $N$ heißt Teilmenge einer Menge $M$, wenn jedes Element aus $N$ auch zu $M$ gehört. Man schreibt dafür

$N\subseteq M$

(manche schreiben dafür $N\subset M$). Man sagt dafür auch, dass eine Inklusion  $N\subseteq M$  vorliegt. Im Nachweis, dass  $N\subseteq M$  ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element  $x\in N$  ebenfalls die Beziehung  $x\in M$  gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft  $x\in N$  verwenden.

Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige Gleichheitsprinzip für Mengen, dass

$M=N\text{ genau dann, wenn }N\subseteq M\text{ und }M\subseteq N$

gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man (in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen) die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass klar die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, getrennt wird. Hier spiegelt sich das aussagenlogische Prinzip wider, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird.

Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. Bei endlichen Mengen ist dies unproblematisch, bei unendlichen Mengen muss man ein „Bildungsgesetz“ für die Elemente angeben.

Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung einführt, ist die Menge der natürlichen Zahlen

$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}.$

Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaubten Zifferfolgen angedeutet. Wichtig ist, dass mit $\mathbb{N}$ nicht eine Menge von bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repräsentierten Zahlwerte. Eine natürliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernrepräsentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders übersichtliche.

Wir besprechen die Mengenbeschreibung durch eine Eigenschaft. Es sei eine Menge $M$ und eine gewisse Eigenschaft $E$ (Prädikat) gegeben, die die Elemente von $M$ erfüllen oder aber nicht. Zu einer Eigenschaft $E$ gehört innerhalb von $M$ die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus $M$, die diese Eigenschaft erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als

$\{x\in M\mid E(x)\}=\{x\in M\mid x\text{ besitzt die Eigenschaft }E\}.$

Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage $E(x)$ eine wohldefinierte Bedeutung hat. Dieser Konstruktion entspricht in der Alltagssprache eine Formulierung mit einem Relativsatz, im Sinne von diejenigen Objekte, auf die die Eigenschaft $E$ zutrifft. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen (in dem auf die Eigenschaft $E$ Bezug genommen werden kann, aber nicht muss). Z.B. kann man die Mengen

$G=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ ist gerade}\},$

$U=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ ist ungerade}\},$

$Q=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ ist eine Quadratzahl}\},$

$\mathbb{P}=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ ist eine Primzahl}\},$

einführen. Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge $K$ der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa

$O=\{x\in K\mid x\text{ kommt aus Osnabr}\ddot{\mathrm{u}}\text{ck}\},$

$P=\{x\in K\mid x\text{ studiert im Nebenfach Physik}\},$

$D=\{x\in K\mid x\text{ hat im Dezember Geburtstag}\}.$

Die Menge $K$ ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja

$K=\{x\mid x\text{ ist Studierender in diesem Kurs}\}.$

Mengenoperationen

So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen.

• Vereinigung

  $A\cup B:=\{x\mid x\in A\text{ oder }x\in B\},$

• Durchschnitt

  $A\cap B:=\{x\mid x\in A\text{ und }x\in B\},$

• Differenzmenge

$A\setminus B:=\{x\mid x\in A\text{ und }x\in ̸B\}.$

Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das Komplement einer Teilmenge $A\subseteq G$, das durch

$\complement A:=G\setminus A=\{x\in G\mid x\in ̸A\}$

definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ gilt, so nennen wir sie disjunkt.

Konstruktion von Mengen

Die meisten Mengen in der Mathematik ergeben sich ausgehend von einigen wenigen Mengen wie beispielsweise den endlichen Mengen und $\mathbb{N}$ durch bestimmte Konstruktionen von neuen Mengen aus schon bekannten oder schon zuvor konstruierten Mengen. Wir definieren:

Definition

Es seien zwei Mengen $L$ und $M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

$L\times M=\{(x,y)\mid x\in L,y\in M\}$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Die Elemente der Produktmenge nennt man Paare und schreibt $(x,y)$. Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten Komponente ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponente ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind.

Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein, beispielsweise ist $ℝ\times ℝ$ die reelle Ebene. In diesem Fall ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn es in der ersten Menge $n$ Elemente und in der zweiten Menge $k$ Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge $n\cdot k$ Elemente. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden, worauf wir bald zurückkommen werden.

Beispiel

Es sei $V$ die Menge aller Vornamen (sagen wir der Vornamen, die in einer bestimmten Grundmenge an Personen wirklich vorkommen) und $N$ die Menge aller Nachnamen. Dann ist

$V\times N$

die Menge aller Namen. Elemente davon sind in Paarschreibweise beispielsweise $(\text{Heinz},\text{Müller})$, $(\text{Petra},\text{Müller})$ und $(\text{Lucy},\text{Sonnenschein})$. Aus einem Namen lassen sich einfach der Vorname und der Nachname herauslesen, indem man entweder auf die erste oder auf die zweite Komponente des Namens schaut. Auch wenn alle Vornamen und Nachnamen für sich genommen vorkommen, so muss natürlich nicht jeder daraus gebastelte mögliche Name wirklich vorkommen. Bei der Produktmenge werden eben alle Kombinationsmöglichkeiten aus den beiden beteiligten Mengen genommen.

Beispiel

Ein Schachbrett (genauer: die Menge der Felder auf einem Schachbrett, auf denen eine Figur stehen kann) ist die Produktmenge

$\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\times \{1,2,3,4,5,6,7,8\}.$

Jedes Feld ist ein Paar, beispielsweise $(a,1),(d,4),(c,7)$. Da die beteiligten Mengen verschieden sind, kann man statt der Paarschreibweise einfach $a1,d4,c7$ schreiben. Diese Notation ist der Ausgangspunkt für die Beschreibung von Stellungen und von ganzen Partien.

Wenn zwei geometrische Punktmengen $A$ und $B$ gegeben sind, beispielsweise als Teilmengen einer Ebene $E$, so kann man die Produktmenge $A\times B$ als Teilmenge von $E\times E$ auffassen. Dadurch entsteht ein neues geometrisches Gebilde, das man manchmal auch in einer kleineren Dimension realisieren kann.

Beispiel

Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke

Es sei $S$ ein Kreis, worunter wir die Kreislinie verstehen, und $I$ eine Strecke. Der Kreis ist eine Teilmenge einer Ebene $E$ und die Strecke ist eine Teilmenge einer Geraden $G$, sodass für die Produktmenge die Beziehung

$S\times I\subseteq E\times G$

gilt. Die Produktmenge $E\times G$ stellt man sich als einen dreidimensionalen Raum vor, und darin ist die Produktmenge $S\times I$ ein Zylindermantel.

Eine andere wichtige Konstruktion, um aus einer Menge eine neue Menge zu erhalten, ist die Potenzmenge.

Definition

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$. Sie wird mit

$𝔓(M)$

bezeichnet.

Es ist also

$𝔓(M)=\{T\mid T\text{ ist Teilmenge von }M\}.$

Wenn $M$ die Menge der Kursteilnehmer ist, so kann man sich jede Teilmenge als eine kursinterne Party vorstellen, zu der eine gewisse Auswahl an Leuten hingeht (es werden also die Partys mit den anwesenden Leuten identifiziert). Die Potenzmenge ist dann die Menge aller möglichen Partys. Wenn eine Menge $n$ Elemente besitzt, so besitzt ihre Potenzmenge $2^n$ Elemente.

Induktion

Mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, können mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion bewiesen werden. Die folgende Aussage begründet dieses Prinzip.

Satz

Für jede natürliche Zahl $n$ sei eine Aussage $A(n)$ gegeben. Es gelte

1. $A(0)$ ist wahr.
2. Für alle $n$ gilt: wenn $A(n)$ gilt, so ist auch $A(n+1)$ wahr.

Dann gilt $A(n)$ für alle $n$.

Beweis

Es sei

$M=\{n\in \mathbb{N}\mid A(n)\text{ ist wahr}\}.$

Wir wollen zeigen, dass  $M=\mathbb{N}$  ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle $n$ gilt. Nach der ersten Bedingung ist

$0\in M.$

Nach der zweiten Voraussetzung gilt für $M$, dass aus  $n\in M$  stets  $n+1\in M$  folgt. Damit erfüllt $M$ beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, sodass  $M=\mathbb{N}$  gilt.

$◻$

Der Nachweis von (der Gültigkeit von) $A(0)$ heißt dabei der Induktionsanfang und der Schluss von $A(n)$ auf $A(n+1)$ heißt der Induktionsschluss. Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von $A(n)$ auch die Induktionsvoraussetzung. In manchen Situationen ist die Aussage $A(n)$ erst für $n\ge n_0$ für ein gewisses $n_0$ (definiert oder) wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage $A(n_0)$ und den Induktionsschluss führt man für $n\ge n_0$ durch.

Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das Summenzeichen. Für gegebene (natürliche, reelle, komplexe) Zahlen $a_1,\dots ,a_n$ bedeutet

$\sum _{k=1}^n{a}_k:=a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_n.$

Dabei hängen im Allgemeinen die $a_k$ in einer formelhaften Weise von $k$ ab. Entsprechend ist das Produktzeichen definiert, nämlich durch

$\prod _{k=1}^n{a}_k:=a_1\cdot a_2\cdots a_{n-1}\cdot a_n.$

Insbesondere sind für $n\in \mathbb{N}$ die Potenzen durch

$a^n=\prod _{i=1}^{n}a=a^{n-1}\cdot a=\underset{n\text{-mal}}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}}$

definiert. Dabei gelten die Konventionen $0a=0$ und $a^0=1$ (die erste lässt sich auch über die Multiplikation begründen, die zweite ist aber auch sinnvoll). Als Rechenregeln für das Potenzieren gelten

1. $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$

2. $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$

3. $(a^n{)}^m=a^{nm}.$

Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel für  $n\ge 1$. 

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$

Lösung

Beim Induktionsanfang ist  $n=1$,  daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der $1$, und daher ist die Summe $1$. Die rechte Seite ist  $\frac{1\cdot 2}{2}=1$,  sodass die Formel für  $n=1$  stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein  $n\ge 1$  gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für $n+1$ gilt. Dabei ist $n$ beliebig. Es ist

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{n+1}k& =\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)+n+1\\ & =\frac{n(n+1)}{2}+n+1\\ & =\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\ & =\frac{(n+2)(n+1)}{2}.\end{array}$

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für $n+1$, also ist die Formel bewiesen.

Aufgabe

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes  $n\in \mathbb{N}$  die Zahl

$6^{n+2}+7^{2n+1}$

ein Vielfaches von $43$ ist.

Lösung

Induktionsanfang. Für  $n=0$  ist

$6^2+7=43$

ein Vielfaches von $43$. Induktionsschritt. Es sei nun die Aussage für $n$ bewiesen und betrachten wir den Ausdruck für $n+1$. Dieser ist

$\begin{array}{cc}{6}^{n+1+2}+7^{2(n+1)+1}& =6\cdot 6^{n+2}+7^2\cdot 7^{2n+1}\\ & =6\cdot 6^{n+2}+(6+43)7^{2n+1}\\ & =6(6^{n+2}+7^{2n+1})+43\cdot 7^{2n+1}\\ & =6\cdot 43\cdot s+43\cdot 7^{2n+1}\\ & =43\cdot (6\cdot s+7^{2n+1}),\end{array}$

wobei im vorletzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde (nämlich die Eigenschaft, dass $6^{n+2}+7^{2n+1}$ ein Vielfaches von $43$ ist). Daher ist diese Zahl ein Vielfaches von $43$.

Fußnoten

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