Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t)y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\zusatzklammer {$I$ reelles Intervall} {} {}
\maabbeledisp {g} {I} {\R
} {t} {g(t)
} {,}
heißt \definitionswort {gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung}{.}
}
Wir sprechen kurz auch von \stichwort {linearen Differentialgleichungen} {.} Linear bedeutet hierbei, dass im
\zusatzklammer {auf \mathlk{I \times \R}{} definierten} {} {}
Vektorfeld
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t,y)
}
{ = }{g(t) y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ort $y$ linear eingeht, d.h. zu jedem fixierten Zeitpunkt $t_0$ ist
\mathl{f(t_0,y)}{} eine lineare Funktion in $y$.
Die folgende Aussage zeigt, dass solche Differentialgleichungen durch Integration gelöst werden können. Die Nullfunktion ist natürlich immer eine Lösung, interessant sind daher die Lösungen, die noch zusätzliche Eigenschaften \zusatzklammer {typischerweise eine Anfangsbedingung} {} {} erfüllen.
\inputfaktbeweis
{Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/1/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t)y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbeledisp {g} {I} {\R
} {t} {g(t)
} {,}
die auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert sei. Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu $g$ auf $I$.}
\faktfolgerung {Dann sind die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der Differentialgleichung gleich
\mathdisp {y(t) = c \cdot \exp (G(t)) \text{ mit } c \in \R} { . }
}
\faktzusatz {Das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y' =g(t)y \text{ und } y(t_0)=y_0} { }
\zusatzklammer {mit $t_0 \in I,\, y_0 \in \R$} {} {}
besitzt eine eindeutige Lösung.}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Zunächst gibt es eine Stammfunktion $G$ von $g$ aufgrund von
Korollar 24.5,
so dass die angegebenen Funktionen existieren.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Durch
\definitionsverweis {Ableiten}{}{}
bestätigt man direkt, dass diese Funktionen wirklich Lösungen sind.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei $y$ eine beliebige Lösungsfunktion. Wir betrachten den Quotienten
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{{ \left( \frac{y(t)}{ \exp (G(t)) } \right) }'
}
{ =} { \frac{y'(t) \exp \left( G(t) \right) - y(t) \cdot { \left( \exp (G(t)) \cdot g(t) \right) } }{ \exp^{ 2 } (G(t)) }
}
{ =} { \frac{y(t) g(t) \exp \left( G(t) \right) - y(t) \cdot { \left( \exp (G(t)) \cdot g(t) \right) } }{ \exp^{ 2 } (G(t)) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
so dass aufgrund von
Lemma 24.6
der Quotient
\mathl{\frac{y(t)}{ \exp (G(t)) }}{} konstant sein muss, woraus die Behauptung folgt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{ y_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
legt den Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ \frac{y_0}{ \exp (G(t_0)) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig fest.}
{}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt genau die
\definitionsverweis {konstanten}{}{}
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
\mathdisp {y(t)= c \text{ mit } c \in \R} { . }
Dies folgt direkt aus
Lemma 24.6,
aber auch aus
Satz 29.2.
}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt genau die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
\mathdisp {y(t)= c e^{t} \text{ mit } c \in \R} { . }
}
\inputbeispiel{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {cy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt nach
Satz 29.2
die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
\mathdisp {y(t)= a e^{ct}\text{ mit } a \in \R} { . }
}
In den bisherigen Beispielen war die Funktion
\mathl{g(t)}{} konstant, und es war besonders einfach, die Lösungen anzugeben. Man spricht von einer \stichwort {homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten} {.} Diese sind insbesondere
\definitionsverweis {zeitunabhängig}{}{.}
Die folgenden Beispiele besitzen keine konstanten Koeffizienten, sondern variable Koeffizienten. Diese Differentialgleichungen sind sowohl orts- als auch zeitabhängig.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ t } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der
\definitionsverweis {natürliche Logarithmus}{}{.}
Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind daher nach
Satz 29.2
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c \cdot \exp ( \ln t )
}
{ =} { ct
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ =} {\frac{1}{t^2-1}
}
{ =} {\frac{1}{(t-1)(t+1)}
}
{ =} { \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
gelangt man zur Stammfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(t)
}
{ =} { \frac{1}{2} \ln (t-1) - \frac{1}{2} \ln (t+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
nach
Satz 29.2
gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ c \cdot \exp { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (t-1) -{ \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (t+1) \right) }
}
{ =} { c { \frac{ \exp \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (t-1) \right) }{ \exp \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln (t+1) \right) } }
}
{ =} { c { \frac{ \sqrt{ \exp \left( \ln (t-1) \right) } }{ \sqrt{ \exp \left( \ln (t+1) \right) } } }
}
{ =} { c \cdot \frac{\sqrt{t-1} }{\sqrt{t+1} }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ t^2+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine solche ist
\zusatzklammer {nach
Fakt ***** (3)} {} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(t)
}
{ =} { \arctan t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Daher sind die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
gleich
\mathdisp {c \cdot \exp ( \arctan t )} { . }
}
\zwischenueberschrift{Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen}
Es gibt homogene lineare Gleichungsysteme, bei denen es darum geht, den Kern einer linearen Abbildung zu bestimmen, und es gibt inhomogene lineare Gleichungssysteme, wo man das Urbild zu einem Vektor \zusatzklammer {Störvektor} {} {} unter einer linearen Abbildung bestimmen soll. Auch zu den linearen Differentialgleichungen gibt es eine inhomogene Variante, bei der eine \stichwort {Störfunktion} {} die Sache verkompliziert. Wie bei linearen Gleichungssystemen ist es auch hier wichtig, zuerst die zugehörige homogene Gleichung zu lösen.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { g(t)y +h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit zwei auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\mathl{t \mapsto g(t)}{} und
\mathl{t \mapsto h(t)}{} heißt \definitionswort {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{.}
}
Die folgende Aussage zeigt, dass solche Differentialgleichungen durch Integration gelöst werden können.
\inputfaktbeweis
{Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t) y +h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\maabb {g,h} {I} {\R
} {.}
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von $g$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a(t)
}
{ =} { \exp (G(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der zugehörigen
\definitionsverweis {homogenen linearen Differentialgleichung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die Lösungen
\zusatzklammer {auf $I$} {} {}
der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { c(t)a(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{c(t)}{} eine Stammfunktion zu
\mathl{\frac{h(t)}{a(t)}}{} ist.}
\faktzusatz {Das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y' =g(t)y + h(t) \text{ und } y(t_0)=y_0} { }
\zusatzklammer {mit $t_0 \in I,\, y_0 \in \R$} {} {}
besitzt eine eindeutige Lösung.}
\faktzusatz {}
}
{
Da
\mathl{a(t)}{} keine Nullstelle besitzt, kann man jede
\zusatzklammer {differenzierbare} {} {}
Funktion
\maabbdisp {y} {I} {\R
} {}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} {c(t)a(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer unbekannten
\zusatzklammer {differenzierbaren} {} {}
Funktion
\mathl{c(t)}{} ansetzen. Dabei ist
\zusatzklammer {für eine differenzierbare Funktion $y$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t)
}
{ =} {c'(t)a(t) +c(t)a'(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher kann man die Lösungsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t)
}
{ =} {g(t)y(t)+h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c'(t)a(t) +c(t)a'(t)
}
{ =} { g(t)c(t)a(t) +h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, und diese gilt wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a'(t)
}
{ = }{g(t)a(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c'(t) a(t)
}
{ =} {h(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c'(t)
}
{ =} {\frac{h(t)}{a(t)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. D.h.
\mathl{c(t)}{} muss eine Stammfunktion zu
\mathl{\frac{h(t)}{a(t)}}{} sein.
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun noch die
\definitionsverweis {Anfangsbedingung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{y_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Mit
\mathl{c(t)}{} ist auch
\mathl{c(t)+c_0}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_0
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Stammfunktion zu
\mathl{\frac{h(t)}{a(t)}}{.} Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_0
}
{ =} { { \left( c(t_0)+c_0 \right) } a(t_0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
legt dann $c_0$ eindeutig fest.}
{}
Die in diesem Satz verwendete Methode heißt \stichwort {Variation der Konstanten} {.} Man ersetzt dabei die Lösungsfunktionen der zugehörigen homogenen Gleichung, also
\mathl{ca(t)}{} mit konstantem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
durch eine variable Funktion
\mathl{c(t)}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {ay +b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Konstanten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z(t)
}
{ =} { e^{at}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach
Satz 29.10
müssen wir daher eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mathl{b e^{-at}}{} bestimmen. Diese sind durch
\mathl{- { \frac{ b }{ a } } e^{-at} +c}{} gegeben. Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( - { \frac{ b }{ a } } e^{-at} +c \right) } \cdot e^{at}
}
{ =} { c \cdot e^{at} - { \frac{ b }{ a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cup_of_coffee_5084862159.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Lieber den Kaffee trinken, bevor er gemäß einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung die Außentemperatur angenommen hat.} }
\bildlizenz { Cup of coffee 5084862159.jpg } {Jason Walsh} {Lobo} {Commons} {CC-by-2.0} {}
Eine solche Differentialgleichung tritt bei Abkühlungsprozessen auf. Wenn ein
\zusatzklammer {heißer} {} {} Körper
\zusatzklammer {beispielsweise eine Tasse Kaffee} {} {}
sich in einem umgebenden Medium
\zusatzklammer {beispielsweise in einem Straßencafé} {} {}
mit konstanter Außentemperatur $A$ befindet, so wird die Temperaturentwicklung
\mathl{y(t)}{} des Körpers nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz durch die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t)
}
{ =} { - d (y(t) - A )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Dieses Gesetz besagt, dass die Abkühlung proportional zur Differenz zwischen Außentemperatur und Körpertemperatur ist
\zusatzklammer {der Proportionalitätsfaktor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Körpers ab} {} {.}
Die Lösungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { c e^{-dt} + A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist das $c$ durch eine Anfangsbedingung bestimmt, also typischerweise durch die Anfangs\-temperatur des Körpers zum Zeitpunkt $0$. Für
\mathl{t \rightarrow +\infty}{} nimmt der Körper die Außentemperatur $A$ an.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { y + t^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(3)
}
{ = }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a(t)
}
{ = }{ e^t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach
Satz 29.10
müssen wir daher eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ t^2 }{ e^t } }
}
{ =} { t^2 \cdot e^{-t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
finden. Mit zweifacher
partieller Integration
findet man die Stammfunktion
\mathdisp {{ \left( -t^2-2t-2 \right) } e^{-t}} { . }
Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^t { \left( { \left( -t^2-2t-2 \right) } e^{-t} +c \right) }
}
{ =} {-t^2-2t-2 +c e^t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn wir noch die Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(3)
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
berücksichtigen, so ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -9-6-2+c e^3
}
{ =} {-17 +c e^3
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ { \frac{ 21 }{ e^3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { -t^2-2t-2 + { \frac{ 21 }{ e^3 } } e^t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2-1 } } + t-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(2)
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Hier ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(t)
}
{ = }{ t-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Störfunktion und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die zugehörige
\definitionsverweis {homogene lineare Differentialgleichung}{}{.}
Eine Stammfunktion von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ t^2-1 } }}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln ( t-1 ) - { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln ( t+1)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \ln { \left( { \frac{ t-1 }{ t+1 } } \right) }
}
{ =} { \ln { \left( { \frac{ \sqrt{t-1} }{ \sqrt{t+1} } } \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist nach
Satz 29.2
\zusatzklammer {bzw. nach
Beispiel 29.7} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a(t)
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{t-1} }{ \sqrt{t+1} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Lösung zur homogenen Differentialgleichung. Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung brauchen wir eine Stammfunktion zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ h(t) }{ a(t) } }
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{t+1} }{ \sqrt{t-1} } } \cdot (t-1)
}
{ =} { \sqrt{t+1} \cdot \sqrt{t-1}
}
{ =} { \sqrt{t^2-1}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion dazu ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( t \sqrt{t^2-1} - \, \operatorname{arcosh} \, t \, \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung haben also die Gestalt
\mathdisp {\sqrt{ { \frac{ t-1 }{ t+1 } } } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( t \sqrt{t^2-1} - \, \operatorname{arcosh} \, t \, \right) } +c \right) }} { }
Die Anfangsbedingung führt zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } } \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 2 \sqrt{3} - \, \operatorname{arcosh} \, 2 \, \right) } + c_0 \right) }
}
{ =} { 1- { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{3} } } \, \operatorname{arcosh} \, 2 \, + c_0 { \frac{ 1 }{ \sqrt{3} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_0
}
{ =} { 4 \sqrt{3} + { \frac{ 1 }{ 2 } } \, \operatorname{arcosh} \, 2 \,
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Lösung des Anfangswertproblems ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ y(t)
}
{ =} { \sqrt{ { \frac{ t-1 }{ t+1 } } } \cdot
{ \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( t \sqrt{t^2-1} - \, \operatorname{arcosh} \, t \, \right) } + 4 \sqrt{3} + { \frac{ 1 }{ 2 } } \, \operatorname{arcosh} \, 2 \, \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Das folgende Beispiel zeigt, dass man schon bei recht einfach aussehenden linearen Differentialgleichungen schnell an die Integrationsgrenzen kommt.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {ty+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zugehörige homogene Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ = }{ty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hat die Lösung
\mathdisp {e^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2}} { , }
somit sind nach
Satz 29.10
die Lösungen der inhomogenen Gleichung gleich
\mathl{c(t) e^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2}}{,} wobei $c(t)$ eine Stammfunktion von
\mathl{e^{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2}}{} ist. Diese Funktion ist aber nicht elementar integrierbar
\zusatzklammer {diese Funktion kommt auch beim sogenannten
\definitionsverweis {Fehlerintegral}{}{}
vor} {} {.}
}