Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Rechenregeln für Folgen}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n+y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+ y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} cx_n
}
{ =} { c { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ 1 }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{{ \left( { \frac{ y_n }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ y_n }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Die konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} ist nach
Lemma 5.8
insbesondere
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und daher existiert ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \leq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mathkor {} {x \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} x_n} {und} {y \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n} {.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \defeq }{\max \{D, \betrag { y } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen
\mathkor {} {N_1} {und} {N_2} {}
mit
\mathdisp {\betrag { x_n -x } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_1 \text{ und } \betrag { y_n -y } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_2} { . }
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max\{N_1,N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_ny_n -xy }
}
{ =} { \betrag { x_ny_n-x_ny+x_n y-xy }
}
{ \leq} {\betrag { x_ny_n-x_ny } + \betrag { x_ny-xy }
}
{ =} { \betrag { x_n } \betrag { y_n-y } + \betrag { y } \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {C \frac{ \epsilon}{2C} + C \frac{ \epsilon}{2C}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Da der Limes der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} nicht $0$ ist, gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \geq }{ { \frac{ \betrag { x } }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{ \betrag { x_n } }
}
{ \leq} { \frac{2}{ \betrag { x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gibt es ein $N_2$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \frac{\epsilon \betrag { x }^2}{2} \text { für alle } n \geq N_2} { . }
Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max \{N_1, N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x} }
}
{ =} { \betrag { \frac{x_n-x}{x x_n} }
}
{ =} { \frac{1}{\betrag { x } \betrag { x_n }} \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} { \frac{2}{\betrag { x }^2} \cdot \frac{ \epsilon \betrag { x }^2}{2}
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}}
{}
{Angeordneter Körper/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq }{ y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ \geq} { \lim_{n \rightarrow \infty} y_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.5. }
Daraus folgt insbesondere, dass wenn eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } \in [a,b]}{} konvergiert, dann der Grenzwert ebenfalls zu dem abgeschlossenen Intervall gehören muss.
Die folgende Aussage nennt man das \stichwort {Quetschkriterium} {.}
{Angeordneter Körper/Folgen/Quetschkriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
drei
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in $K$.}
\faktvoraussetzung {Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N} { }
und
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergieren}{}{}
beide gegen den gleichen Grenzwert $a$.}
\faktfolgerung {Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.6. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $K$. Dann heißt die Folge \definitionswort {wachsend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \geq }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und \definitionswort {streng wachsend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ > }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Folge heißt \definitionswort {fallend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \leq }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und \definitionswort {streng fallend}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ < }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Als gemeinsamen Begriff für waschsende oder fallende Folgen verwendet man die Bezeichnung \stichwort {monotone Folgen} {.}
Man stelle sich nun eine wachsende Folge vor, die aber dennoch (nach oben) beschränkt ist. Muss eine solche Folge konvergieren? Das hängt vom angeordneten Körper ab! Innerhalb der rationalen Zahlen sind beispielsweise die mit dem Heronverfahren konstruierten Folgen fallend (wenn man mit einem zu großen Startwert anfängt) und auch beschränkt \zusatzklammer {durch jede rationale Zahl, deren Quadrat kleiner als $a$ ist} {} {,} sie besitzen aber im Allgemeinen keinen Limes in $\Q$. Die reellen Zahlen $\R$, denen wir uns jetzt zuwenden, sind gerade dadurch ausgezeichnet, dass darin jede wachsende (fallende), nach oben (unten) beschränkte Folge einen Grenzwert besitzt.
\zwischenueberschrift{Cauchy-Folgen}
Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge
\mathl{{ \left( u_n \right) }_{n \in \N }}{}
\zusatzklammer {sagen wir zur Berechnung von $\sqrt{5}$} {} {}
mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in einem beliebigen angeordneten Körper betrachten, in dem $\sqrt{5}$ existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Augustin_Louis_Cauchy.JPG} }
\end{center}
\bildtext {Augustin Louis Cauchy (1789-1857)} }
\bildlizenz { Augustin Louis Cauchy.JPG } {} {Anarkman} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $K$ heißt \definitionswort {Cauchy-Folge}{,} wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Cauchyfolge/Charakterisierung mit n0 und n/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Dann ist eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} genau dann eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{,}
wenn folgende Bedingung gilt: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_{n_0} }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
erfüllt auch die angegebene Bedingung, da man ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzen kann.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Für die Umkehrung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Die Bedingung der Aussage gilt insbesondere für
\mathl{\epsilon/2}{,} d.h. es gibt ein $n_0$ derart, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_{n_0} }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Damit gilt aufgrund
der Dreiecksungleichung
für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_{n} }
}
{ \leq} { \betrag { x_m-x_{n_0} } + \betrag { x_{n_0}-x_n }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } } + { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
}
{}{}{,}
sodass eine Cauchy-Folge vorliegt.}
{}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Konvergente Folge ist Cauchy-Folge/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann ist jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}}
\faktfolgerung {eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf
\mathl{\epsilon/2}{} an. Daher gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon/2 \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt dann
aufgrund der Dreiecksungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { x-x_m }
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
}
{}{}{.} Also liegt eine Cauchy-Folge vor.
\inputfaktbeweis
{Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {wachsende}{}{,}
\definitionsverweis {nach oben beschränkte}{}{} Folge.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {obere Schranke}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \leq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle Folgenglieder $x_n$. Wir nehmen an, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus
Lemma 6.6.
Somit gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es für jedes $n_0$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ > }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_m-x_{n_0}
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt
\zusatzklammer {wir können die Betragstriche wegen der Monotonie weglassen} {} {.}
Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathdisp {n_1 > n_0 \text{ so, dass } x_{n_1} - x_{n_0} \geq \epsilon} { , }
\mathdisp {n_2 > n_1 \text{ so, dass } x_{n_2} - x_{n_1} \geq \epsilon} { , }
etc. Andererseits gibt es aufgrund des
\definitionsverweis {Archimedes\-axioms}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k \epsilon
}
{ > }{ b-x_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Summe der ersten $k$ Differenzen der
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
\mathbed {x_{n_j}} {}
{j \in \N} {}
{} {} {} {,}
ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ x_{n_k}-x_0
}
{ =} { (x_{n_k} - x_{n_{k-1} }) + (x_{n_{k-1} } - x_{n_{k-2} }) + \cdots + (x_{n_{2} } - x_{n_{1} }) +(x_{n_{1} } - x_{n_{0} })
}
{ \geq} { k \epsilon
}
{ >} { b-x_0
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Dies impliziert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n_k}
}
{ > }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $b$ eine obere Schranke der Folge ist.
\zwischenueberschrift{Der Körper der reellen Zahlen}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {vollständig}{} oder \definitionswort {vollständig angeordnet}{,} wenn jede \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} \zusatzklammer {also in $K$ einen Grenzwert besitzt} {} {.}
}
\inputdefinition
{}
{
Einen \definitionsverweis {archimedisch angeordneten}{}{} \definitionsverweis {vollständigen}{}{} \definitionsverweis {Körper}{}{} nennt man \definitionswort {Körper der reellen Zahlen}{.} Er wird mit $\R$ bezeichnet.
}
Die reellen Zahlen sind also ein vollständig und archimedisch angeordneter Körper. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle $\R_1$ und $\R_2$ gibt, die beide für sich genommen vollständig und archimedisch angeordnete Körper sind, so kann man eine bijektive Abbildung von $\R_1$ nach $\R_2$ angeben, der alle mathematischen Strukturen erhält \zusatzklammer {sowas nennt man einen Isomorphismus} {} {.}
Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man die Vorstellung einer \anfuehrung{kontinuierlichen Zahlengerade}{} zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von $\Q$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Dedekindschen Schnitte oder die Menge der Cauchy-Folgen in $\Q$ mit einer geeigneten Identifizierung. Darauf werden wir hier verzichten.
Statt von einem vollständig und archimedisch angeordneten Körper werden wir von nun an von den reellen Zahlen $\R$ sprechen. Als Beweismittel sind aber lediglich die genannten Axiome erlaubt.