Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 72/latex

\setcounter{section}{72}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide \zusatzklammer {eines \stichwort {Tetraeders} {}} {} {} mit Seitenlänge $1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {} um die $x$-Achse gedreht wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R_{\geq 0} } {t} {t+ \sqrt{t} +1 } {,} um die $t$-Achse rotieren lässt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die $y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu
\mathl{y=h}{} \anfuehrung{gedeckelt}{} wird, in Abhängigkeit von $h \geq 0$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Fasse die Einheitskugel als \definitionsverweis {Rotationskörper}{}{} auf und berechne damit ihr Volumen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von
\mathl{3 \times 3}{} Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von $5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man aus dem Einheitszylinder, dessen Grundfläche eine Einheitskreisscheibe ist und der die Höhe $1$ besitzt, den \zusatzklammer {offenen} {} {} Kegel herausnimmt, der den oberen Zylinderdeckel als Grundfläche und den unteren Kreismittelpunkt als Spitze besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {[a,b]} {\R_+ } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \zusatzklammer {mit $a \leq b$ aus $\R$} {} {.} Zeige, dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge
\mathdisp {M = { \left\{ (x, f(x) \cos \alpha , f(x) \sin \alpha ) \mid x \in [a,b] , \, \alpha \in [0, 2 \pi[ \right\} } \subseteq \R^3} { , }
das Volumen $0$ besitzt.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Wurst.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Wurst.png } {} {Rainer_Bielefeld} {Wikipedia.de} {GFDL} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Clusterförmige Anordnung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Clusterförmige Anordnung.png } {} {Rainer_Bielefeld} {Wikipedia.de} {GFDL} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Die rechteckige Grundseite \zusatzklammer {Unterseite} {} {} eines Bootes \zusatzklammer {unter Wasser} {} {} habe die Breite $2{\rm m}$ und die Länge $10{\rm m}$, die \zusatzklammer {ebenfalls rechteckige} {} {} Deckseite \zusatzklammer {Oberseite} {} {} habe die Breite $3{\rm m}$ und die Länge $12{\rm m}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand $2{\rm m}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung
\mathl{12.000 {\rm kg}}{.} Der Tiefgang des Bootes soll maximal $1,5{\rm m}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sollen drei Kugeln mit Radius $1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wo liegt der Fehler in Beispiel 72.7?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Wikipediaartikel \anfuehrung{Prinzip von Cavalieri}{,} insbesondere in Hinblick auf die Formulierung:

\anfuehrung{Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben) }{.} \zusatzklammer {Version vom 16. November 2015} {} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ die \definitionsverweis {Kreisscheibe}{}{} mit dem Mittelpunkt in
\mathl{(0,R)}{} und dem Radius
\mathl{0 <r <R}{.} Berechne das Volumen des \definitionsverweis {Rotationskörpers}{}{,} der entsteht, wenn sich $K$ um die $x$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $V$ der \definitionsverweis {Viertelkreis}{}{} mit dem Mittelpunkt in
\mathl{(1,0)}{,} dem Radius
\mathl{1}{} und den Eckpunkten \mathkor {} {(0,0)} {und} {(1,1)} {.} Berechne das Volumen des \anfuehrung{runden Trichters}{,} der entsteht, wenn man $V$ um die $y$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $D$ das \definitionsverweis {Dreieck}{}{} mit den Eckpunkten
\mathl{(3,4),\, (5,5)}{} und
\mathl{(4,6)}{.} Bestimme das Volumen des \definitionsverweis {Rotationskörpers}{}{,} der entsteht, wenn man $D$ um die $x$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne das Volumen des \definitionsverweis {Kegels}{}{,} dessen Spitze in
\mathl{(2,3,5)}{} liegt und dessen Grundfläche die durch
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 3x^2+2y^2 \leq 4 \right\} }} { }
gegebene Ellipse ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu }
{ = }{ \varphi_*\lambda^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} unter der Multiplikation \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.} Zeige, dass für jede \definitionsverweis {Borelmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (T) }
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } \lambda^1(T) = 0 \, , \\ \infty, \text{ falls } \lambda^1(T) > 0 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}