Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 71

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

$f(x,y)=x^3-y{x}^2+7\sin y.$

Berechne die Integrale zum Parameter  $y\in [0,\pi ]$  über  $x\in [0,1]$  und zum Parameter  $x\in [0,1]$  über  $y\in [0,\pi ]$.  Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

Mit Aufgabe 70.16 ist jetzt die folgende Aufgabe einfach zu lösen.

Aufgabe *

Es sei

$f:]0,1]⟶[0,\mathrm{\infty }[$

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}:[0,\mathrm{\infty }[⟶]0,1].$

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${\int }_0^{1}f(t)dt$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}^{-1}(y)dy$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 12.11 und Beispiel 35.5.

Aufgabe

Es sei

$E=\{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}\cup \{0\},$

(mit der von $ℝ$ induzierten Metrik) und es seien ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$)

$g,f_n:M⟶ℝ$

messbare Funktionen auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $M$. Wir betrachten die Funktion

$f:E\times M⟶ℝ$

mit

$f(\frac{1}{n},x)=f_n(x)$

und

$f(0,x)=g(x).$

Diskutiere den Satz von der majorisierten Konvergenz und Satz 71.1 in dieser Situation.

Aufgabe *

Es sei $(M,𝒜,\mu )$ ein endlicher Maßraum und $A_t$, $t\in ℝ$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen $e_{A_t}$. Wir betrachten die Abbildung

$f:ℝ\times M⟶ℝ,(t,x)⟼f(t,x)=e_{A_t}(x).$

Zeige, dass die Abbildung

$\phi :ℝ⟶ℝ,t⟼\phi (t)={\int }_{M}f(t,x)d\mu (x),$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?

Aufgabe

Es seien $h:[a,b]\to ℝ$ und $g:[c,d]\to ℝ$ differenzierbare Funktionen. Bestätige Satz 71.2 für

a) $f(x,y)=g(x)+h(y)$,

b) $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$.

Aufgabe

Zeige, dass die dritte Bedingung in Korollar 71.3 äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen

$h_i:M⟶ℝ$

mit

$\Vert \frac{\partial f}{\partial z_i}(z,x)\Vert \le h_i(x)$

ist.

Aufgabe

Begründe die Additivität des Integrals mithilfe von Satz 71.5.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $[a,b]$ und $[c,d]$ kompakte Intervalle und es sei

$f:[a,b]\times [c,d]⟶ℝ,(x,y)⟼f(x,y),$

eine stetige Funktion. Zeige mithilfe von Satz 71.1, dass auch die Funktion

$[a,b]⟶ℝ,x⟼{\int }_c^{d}f(x,y)dy,$

stetig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Fakultätsfunktion $\mathrm{Fak}(x)$ beliebig oft differenzierbar ist mit den Ableitungen

${\mathrm{Fak}}^{(n)}(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\ln t{)}^n{t}^x{e}^{-t}dt.$