Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 71

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei

Berechne die Integrale zum Parameter über und zum Parameter über . Bestimme jeweils die extremalen Integrale.


Mit Aufgabe 71.10 ist jetzt die folgende Aufgabe einfach zu lösen.

Aufgabe *

Es sei

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.


Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 12.11 und Beispiel 35.5.

Aufgabe

Es sei

(mit der von induzierten Metrik) und es seien ()

messbare Funktionen auf einem -endlichen Maßraum . Wir betrachten die Funktion

mit

und

Diskutiere den Satz von der majorisierten Konvergenz und Satz 71.1 in dieser Situation.


Aufgabe *

Es sei ein endlicher Maßraum und , , eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen . Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass die Abbildung

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Funktionen. Bestätige Satz 71.2 für

a) ,

b) .


Aufgabe

Zeige, dass die dritte Bedingung in Korollar 71.3 äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen

mit

ist.


Aufgabe

Begründe die Additivität des Integrals mit Hilfe von Satz 71.5.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und kompakte Intervalle und es sei

eine stetige Funktion. Zeige mit Hilfe von Satz 71.1, dass auch die Funktion

stetig ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Fakultätsfunktion beliebig oft differenzierbar ist mit den Ableitungen



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