Es sei
ein
-endlicher
Maßraum und
-
eine
messbare Abbildung.
Dann ist die Abbildung
-
bijektiv
und
maßtreu.
Die Abbildung
ist
messbar
nach
Lemma 64.11 und nach
Lemma 68.3.
Sie ist ferner bijektiv, die Umkehrabbildung ist
. Sei
messbar.
Wir müssen
-

zeigen. Für
ist
-

Aufgrund der
Translationsinvarianz
des
Borel-Lebesgue-Maßes
besitzt diese Menge das gleiche Maß wie
-

Aufgrund
der Integrationsversion des Cavalieri-Prinzips
gilt also


- Einige Volumina
Zu einer Teilmenge
nennt man
-
die zugehörige Rotationsmenge
(um die
-Achse).
Es sei
-
eine
nichtnegative
messbare Funktion
und sei
der
Rotationskörper
zum
Subgraphen
von
um die
-Achse.
Dann besitzt
das Volumen
-
![{\displaystyle {}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fbef9f0a30ae1eb88d739e10573518a4b612d5)
wobei für die zweite Formel
als
stetig
vorausgesetzt sei.
Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer
(differenzierbaren) Funktion werden wir in
Satz 85.5 berechnen.
Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert
und für das Volumen der Einheitskugel der Wert
.
Bei
liegt der gesamte Kegel in
und sein
-Maß ist
nach
Lemma 66.11,
sei also
. Der Durchschnitt von
mit der durch
,
zwischen
und
,
gegebenen
Hyperebene
ist

Wegen der
Translationsinvarianz
und
Korollar 67.3
ist dessen Volumen gleich
. Nach
dem Cavalieri-Prinzip
ist also
(mit
)


- Der Satz von Fubini
Es seien
und
zwei
-endliche Maßräume und sei
-
eine
messbare Funktion. Der Satz von Fubini bringt das Integral
mit dem Integral über
der Funktion
-
in Verbindung. Er erlaubt es, Integrale über einem höherdimensionalen Bereich auf eindimensionale Integrale zurückzuführen. Sein Beweis beruht auf dem Cavalieri-Prinzip, angewendet auf den Produktraum
, und ist prinzipiell nicht schwierig. Allerdings muss man bei einigen Details
(Nichtnegativität, Undefiniertheitsstellen, Nullmengen) doch präzise sein, so dass wir einige vorbereitende Lemmata anführen.
Es seien
und
zwei
-endliche Maßräume und sei
-
eine nichtnegative
messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für jedes
sind die Funktionen
-
und für jedes
sind die Funktionen
-
messbar.
- Die Funktion
-
und die Funktion
-
sind
messbar.
- Es gilt
-

(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen
-
für jedes
.
(2) folgt aus
Lemma 71.4
angewendet auf
-

da
der Subgraph von
und
ist.
(3). Nach
Satz 71.5,
angewendet auf das Produkt
, ist

Da man die Rollen von
und
vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.

Es seien
und
zwei
-endliche Maßräume und sei
-
eine
messbare Funktion.
Dann ist
genau dann
integrierbar, wenn
-
endlich ist.
Wir kommen nun zum Satz von Fubini.
Es seien
und
zwei
-endliche Maßräume und sei
-
eine
integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
-
und
-
fast überall
reellwertig und
fast überall
integrierbar,
und es gilt
-

Nach Voraussetzung und nach
Lemma 72.9
ist die Funktion
integrierbar.
Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral
fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine
Nullmenge
gibt mit
für
. Daher sind
nach Lemma 69.5
für
die Integrale
definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile
und
.
Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da
eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man
durch
ersetzen.
Wir schreiben
-

und wenden auf die beiden Summanden
Lemma 72.8
an, so dass dies gleich

ist.
