Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 78/latex

\setcounter{section}{78}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ (x,y,z,t) \in \R^4 \mid x+x^2y+z^2+t^3 = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^4$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R_+ } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$ eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^{3}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge aller reellen
\mathl{n\times n}{-}Matrizen mit \definitionsverweis {Determinante}{}{} $1$ eine
\mathl{(n^2-1)}{-}dimensionale \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^{n^2}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {abgeschlossenen Teilmenge}{}{}
\mathl{M\subseteq \R}{,} die keine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} von $\R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten}{}{} von $\R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten}{}{} von $S^1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei \definitionsverweis {disjunkte}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}{}{} des $\R^n$. Zeige, dass deren \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{M \cup N}{} ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Graph}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_f }
{ \subseteq }{ \R^{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^{n+1}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} der Dimension $n$. Zeige, dass es eine Kette von \definitionsverweis {abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_0 }
{ \subseteq} { M_1 }
{ \subseteq} { M_2 }
{ \subseteq \ldots \subseteq} { M_{n-1} }
{ \subseteq} { M_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { M }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $M_i$ die Dimension $i$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Es sei
\mathl{T_P(i)}{} die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} zur Inklusion \maabbdisp {i} {M} {\R^n } {} und $\gamma$ ein \definitionsverweis {differenzierbarer Weg}{}{} in $M$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\gamma(0) }
{ =} {P }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^n }
{ \cong }{ T_P \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_P(i) ( [\gamma] ) }
{ =} { { \left( i \circ \gamma \right) } '(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\pi} {TM} {M } {} das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{.} Zeige, dass diese Projektionsabbildung \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und es sei \maabb {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $TM$ das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{} zu einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$. Zeige, dass die Mengen
\mathl{(T(\alpha))^{-1} (V \times W)}{} zu allen Karten \maabbdisp {\alpha} {U} {V } {} mit
\mathl{V,W \subseteq \R^n}{} offen eine \definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{} auf dem Tangentialbündel bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} $T\varphi$ zu \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(x^2y-3xz^3+y^2,x \sin y -e^{yz}) } {} unter Verwendung der Identifizierungen \mathkor {} {T\R^3 =\R^3 \times \R^3} {und} {T\R^2 =\R^2 \times \R^2} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer differenzierbaren Kurve \maabbdisp {\gamma} {[0,1[} { S^1 } {} derart, dass der \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathl{\operatorname{lim}_{ t \rightarrow 1 } \, \gamma(t)}{} existiert, dass aber der Grenzwert
\mathl{\operatorname{lim}_{ t \rightarrow 1 } \, ( \gamma(t), T_t (\gamma ) (1))}{} in
\mathl{TS^1}{} nicht existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{.} Interpretiere die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {TM \longrightarrow T\R^n = \R^n \times \R^n \stackrel{+}{\longrightarrow} \R^n} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {TS^1} { \R^2 } {( (a,b),t (-b,a))} { (a,b) + t (-b,a) } {,} für jeden Punkt
\mathl{(x,y) \in \R^2}{} außerhalb der Einheitskreisscheibe zwei Urbildpunkte, auf dem Einheitskreis einen Urbildpunkt und innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe keinen Urbildpunkt besitzt. Man interpretiere dies geometrisch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $N$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ TM }
{ \subseteq }{ TN }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine abgeschlossene Teilmenge ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{8 (3+3+2)}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (x,y,u,v) \in \R^4 \mid ux^m+vy^n = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^4$ ist.

b) Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {M} {\R^2 } {(x,y,u,v)} {(x,y) } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.

c) Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{10 (2+3+5)}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^2 } {x} {(x^2,x^3) } {.}

a) Zeige, dass diese Abbildung \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

b) Zeige, dass $\varphi$ nicht in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.

c) Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^2$ ist, aber keine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^2$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {\varphi} {G} {\R^m } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} und $M$ die \definitionsverweis {Faser}{}{} über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \in }{ \R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} in jedem Punkt dieser Faser \definitionsverweis {surjektiv}{}{} sei. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} im Sinne von Definition 53.7 mit dem \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ im Punkt $P$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} des \definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{}
\mathl{T_{S_1}}{} der $1$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{} $S^1$ mit dem \definitionsverweis {Produkt}{}{} $S^1 \times \R$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\pi} {TM} {M } {} das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{.} Zeige, dass
\mathl{TM}{} selbst in natürlicher Weise eine \definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines $R$-Moduls verwendet \zusatzklammer {das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes} {} {.}

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ (M,+,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \stichwort {additiv} {} geschriebene \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Man nennt $M$ einen \definitionswortpraemath {R}{ Modul }{,} wenn eine Operation \maabbeledisp {} {R \times M } { M } {(r,v)} { rv = r\cdot v } {,} \zusatzklammer {\stichwort {Skalarmultiplikation} {} genannt} {} {} festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt \zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:} \aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,} }{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,} }{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,} }{
\mathl{1u = u}{.} }

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ C^1(M,\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Ring}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{} auf $M$ und sei $F$ die Menge aller \definitionsverweis {Vektorfelder}{}{} auf $M$.

a) Definiere eine Addition auf $F$ derart, dass $F$ zu einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} wird.

b) Definiere eine Skalarmultiplikation \maabbeledisp {} {R \times F} {F } {(f,s)} {fs } {,} derart, dass $F$ zu einem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} wird.

}
{} {}