Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 78

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Rotationsfläche des Graphen von eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen -Matrizen mit Determinante eine -dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer abgeschlossenen Teilmenge , die keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ist.


Aufgabe

Bestimme die abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten von .


Aufgabe

Bestimme die abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten von .


Aufgabe

Es seien und zwei disjunkte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten des . Zeige, dass deren Vereinigung ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass der Graph eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.


Aufgabe *

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit die Dimension besitzt.


Aufgabe

Es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und ein Punkt. Es sei die Tangentialabbildung zur Inklusion

und ein differenzierbarer Weg in mit

Zeige, dass in die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

das Tangentialbündel. Zeige, dass diese Projektionsabbildung stetig ist.


Aufgabe

Seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die zugehörige Tangentialabbildung

stetig ist.


Aufgabe

Es sei das Tangentialbündel zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Zeige, dass die Mengen zu allen Karten

mit offen eine Basis der Topologie auf dem Tangentialbündel bilden.


Aufgabe

Berechne die Tangentialabbildung zu

unter Verwendung der Identifizierungen

und .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer differenzierbaren Kurve

derart, dass der Grenzwert existiert, dass aber der Grenzwert in nicht existiert.


Aufgabe

Es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Interpretiere die Hintereinanderschaltung


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

für jeden Punkt außerhalb der Einheitskreisscheibe zwei Urbildpunkte, auf dem Einheitskreis einen Urbildpunkt und innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe keinen Urbildpunkt besitzt. Man interpretiere dies geometrisch.


Aufgabe

Es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der differenzierbaren Mannigfaltigkeit . Zeige, dass eine abgeschlossene Teilmenge ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (8 (3+3+2) Punkte)

Seien .

a) Zeige, dass die Menge

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.

b) Zeige, dass die Abbildung

differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist.

c) Beschreibe die Fasern von .


Aufgabe (10 (2+3+5) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Zeige, dass diese Abbildung differenzierbar und injektiv ist.

b) Zeige, dass nicht in jedem Punkt regulär ist.

c) Zeige, dass das Bild von abgeschlossen in ist, aber keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei offen,

eine differenzierbare Abbildung und die Faser über . Es sei vorausgesetzt, dass das totale Differential in jedem Punkt dieser Faser surjektiv sei. Zeige, dass für der Tangentialraum im Sinne von Definition 53.7 mit dem Tangentialraum der differenzierbaren Mannigfaltigkeit im Punkt übereinstimmt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels der -Sphäre mit dem Produkt gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

das Tangentialbündel. Zeige, dass selbst in natürlicher Weise eine topologische Mannigfaltigkeit ist.


In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines -Moduls verwendet (das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes).


Sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei der Ring der differenzierbaren Funktionen auf und sei die Menge aller Vektorfelder auf .

a) Definiere eine Addition auf derart, dass zu einer kommutativen Gruppe wird.

b) Definiere eine Skalarmultiplikation

derart, dass zu einem -Modul wird.



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