Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 16/latex

\setcounter{section}{16}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $\R$. Wir betrachten auf einem \definitionsverweis {reellen Intervall}{}{} $[a,b]$ die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {[a,b]} {\R } {t} {t x_n } {.} Zeige, dass diese Funktionenfolge \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,} und bestimme die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $\R$. Wir betrachten die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {\R} {\R } {t} {t x_n } {.} Zeige, dass diese Funktionenfolge \definitionsverweis {punktweise}{}{,} aber im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und seien \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} und \maabbdisp {g_n} {T} { {\mathbb K} } {} zwei \definitionsverweis {gleichmäßig konvergente}{}{} \definitionsverweis {Funktionenfolgen}{}{.} Zeige, dass auch die Summenfolge \maabbeledisp {f_n+g_n} {T } { {\mathbb K} } {t} { f_n(t) +g_n(t) } {,} gleichmäßig konvergent ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit Konvergenzradius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n }
{ \defeq} { \begin{cases} a_n,\, \text{ falls } n \in I, \\ 0 \text{ sonst}, \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius
\mathl{\geq r}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten wir die Funktionen \maabbeledisp {f_n} {\R} {\R } {x} {f_n(x) } {,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(x) }
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ für } x \leq 0 , \\ nx \text{ für } 0 < x \leq 1/n , \\ 2- n x \text{ für } 1/n < x \leq 2/n , \\ 0, \text{ für } x > 2/n \, .\end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, und dass diese \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \definitionsverweis {punktweise}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen die \definitionsverweis {Nullfunktion}{}{} konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbdisp {f_n} {\R} {\R } {} derart, dass sämtliche $f_n$ nicht \definitionsverweis {stetig}{}{} sind, die Funktionenfolge aber \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen eine stetige \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{} eine Teilmenge und es sei \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} eine Folge von \definitionsverweis {gleichmäßig stetigen Funktionen}{}{,} die \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen die Funktion $f$ konvergiert. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {komplexwertigen}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{} auf $T$. Zeige, dass $M$ ein \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( c_n \right) }_{n \in \N }$ eine Folge von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} und $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} mit dem Konvergenzradius der um
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \anfuehrung{verschobenen}{} Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }} { }
übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} eine Potenzreihe mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n }
{ \in }{ {\mathbb C} \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten die Folge
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{.} Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} so hat die Potenzreihe unendlichen \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{.}

b) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} gegen $a > 0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ a } }}{.}

c) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} bestimmt gegen $+ \infty$ \definitionsverweis {divergiert}{}{,} so hat die Potenzreihe den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mathl{0}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, für welche komplexe Zahlen $z$ die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty n^nz^n} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} auf ${\mathbb C}$ nicht \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $f=\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ und $g=\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }$ \definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum $r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Die Potenzreihe $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ mit $c_n =a_n+b_n$ ist konvergent auf $U { \left( 0,r \right) }$ und stellt dort die Summenfunktion $f+g$ dar. } {Die Potenzreihe $\sum _{ n= 0}^\infty d_n z^{ n }$ mit $d_n = \sum_{i=0}^n a_ib_{n-i}$ ist konvergent auf $U { \left( 0,r \right) }$ und stellt dort die Produktfunktion $fg$ dar. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle geraden Indizes eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} darstellt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle ungeraden Indizes eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} darstellt.

}
{} {}

Für die Umkehrung der beiden vorstehenden Aufgaben verwende man Aufgabe 16.21 weiter unten.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k z^k}{} eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{,} die eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} darstelle. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_k }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle geraden Indizes ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k z^k}{} eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{,} die eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} darstelle. Zeige, dass
\mathl{c_k=0}{} für alle ungeraden Indizes ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {I} {\R } {x} {x^{1/n} } {.} Zeige, dass diese Folge für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ = }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{,} und untersuche die Folge auf \definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{} für die verschiedenen Definitionsmengen
\mathdisp {I=\R_{\geq 0},\, \R_+,\, [1, \infty],\, [\frac{1}{5}, 5],\, ]0,1],\, [0,1]} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 1}^\infty \frac{x^n}{n^2}} { . }
Zeige, dass diese Potenzreihe den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle
\mathbed {x \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { x } =1} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $T$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow {\mathbb C} \mid \Vert {f} \Vert_T < \infty \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der beschränkten \definitionsverweis {komplexwertigen}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{} auf $T$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} auf $M$ folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungvier{
\mathl{\Vert {f} \Vert \geq 0}{} für alle $f \in M$. }{
\mathl{\Vert {f} \Vert = 0}{} genau dann, wenn
\mathl{f=0}{} ist. }{Für
\mathl{\lambda \in {\mathbb C}}{} und
\mathl{f \in M}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert }
{ =} {\betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mathl{g,f \in M}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert }
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{,} die für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf $U { \left( 0,\epsilon \right) }$ \definitionsverweis {konvergiere}{}{} und dort die \definitionsverweis {Nullfunktion}{}{} darstelle. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist \zusatzklammer {d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \in }{ \{ 0,1 , \ldots , n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} Folge
\mathdisp {{ \left( c_{in} \right) }_{ n \in \N }} { }
in ${\mathbb C}$ gegeben, deren \definitionsverweis {Limes}{}{} mit $c_i$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ von Polynomen vom Grad $\leq d$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n }
{ \defeq} {c_{dn}x^d + c_{d-1 \, n }x^{d-1} + \cdots + c_{2n}x^2 + c_{1 n }x +c_{0n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder \definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{} $B \left( 0,r \right)$ \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {c_{d}x^d + c_{d-1 }x^{d-1} + \cdots + c_{2}x^2 + c_{1 }x +c_{0} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} konvergiert.

}
{} {}