Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 16

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge in . Wir betrachten auf einem reellen Intervall die Funktionenfolge

Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge in . Wir betrachten die Funktionenfolge

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?


Aufgabe *

Sei eine Menge und seien

und

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

gleichmäßig konvergent ist.


Aufgabe *

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

mit

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ist.


Aufgabe

Zu betrachten wir die Funktionen

die durch

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge

derart, dass sämtliche nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.


Aufgabe *

Es sei eine Teilmenge und es sei

eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Zeige, dass gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass ein komplexer Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei eine Folge von komplexen Zahlen und die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius der um „verschobenen“ Potenzreihe

übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei eine Potenzreihe mit . Wir betrachten die Folge . Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn gegen konvergiert, so hat die Potenzreihe unendlichen Konvergenzradius.

b) Wenn gegen konvergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius .

c) Wenn bestimmt gegen divergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius .


Aufgabe *

Bestimme, für welche komplexe Zahlen die Reihe

konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialreihe auf nicht gleichmäßig konvergiert.


Aufgabe

Es seien und Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum sei. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Potenzreihe mit ist konvergent auf und stellt dort die Summenfunktion dar.
  2. Die Potenzreihe mit ist konvergent auf und stellt dort die Produktfunktion dar.


Aufgabe *

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe mit für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Funktionenfolge

Zeige, dass diese Folge für punktweise konvergiert, und untersuche die Folge auf gleichmäßige Konvergenz für die verschiedenen Definitionsmengen


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Potenzreihe

Zeige, dass diese Potenzreihe den Konvergenzradius besitzt, und dass die Reihe noch für alle , , konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Menge und

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass die Supremumsnorm auf folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. für alle .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine Potenzreihe, die für ein auf konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann für alle ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).


Aufgabe (5 Punkte)

Sei und sei für jedes eine konvergente Folge

in gegeben, deren Limes mit bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge von Polynomen vom Grad , die durch

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder kompakten Kreisscheibe gleichmäßig gegen

konvergiert.



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