Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 15

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.


Aufgabe

Es seien

zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.


Aufgabe

Sei  , . Bestimme (in Abhängigkeit von ) die Summen der beiden Reihen


Aufgabe

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der dritten Potenz


Aufgabe *

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.


Aufgabe

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion

nicht nach oben beschränkt ist und dass das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.[1]


Aufgabe

Es sei eine konvergente Reihe mit . Zeige, dass die durch die Reihenglieder

definierte Reihe ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Reihe mit . Zeige, dass die durch

definierte Folge eine Nullfolge ist.


Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu in der Produktreihe aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.


Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer periodischen Funktion.


Eine Funktion

heißt periodisch mit Periode , wenn für alle die Gleichheit
gilt.


Aufgabe

Es sei

eine periodische Funktion und

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.


Aufgabe

Es sei

eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass beschränkt ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der vierten Potenz


Aufgabe (4 Punkte)

Für und sei

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für die Restgliedabschätzung

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes die Folge

bestimmt divergent gegen ist.[2]


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das Additionstheorem für den Sinus, also die Gleichheit

für .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.




Fußnoten
  1. Aus der Stetigkeit, die wir aber noch nicht bewiesen haben, folgt daraus, dass das Bild der reellen Exponentialfunktion ist.
  2. Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion.


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