Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 17

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei eine positive reelle Zahl. Zeige für jedes die Gleichheit


Aufgabe

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen

zur Basis die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien und , bei (4) sei zusätzlich ).

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .


Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.

  1. Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
  2. Es gilt
  3. Es gilt für .
  4. Es gilt


Aufgabe

Seien . Zeige


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert und eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem positiven Grenzwert . Zeige, dass die durch definierte Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert und eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert . Zeige durch ein Beispiel, dass die durch definierte Folge nicht konvergieren muss.


Aufgabe

Es sei , , eine summierbare Familie komplexer Zahlen und eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie , , summierbar ist.


Aufgabe

Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Die Betragsfamilie , , sei summierbar. Zeige, dass , , summierbar ist.


Aufgabe

Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Die Familie , , sei summierbar. Zeige, dass , , summierbar ist.


Für Familien, anders wie bei Reihen, gibt es also keinen Unterschied zwischen summierbar und absolut summierbar.

Aufgabe

Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie

nach oben beschränkt ist.


Aufgabe

Sei , . Zeige, dass die Familie

summierbar ist.


Aufgabe

Sei , . Berechne zur summierbaren Familie

die Teilsummen

zu jedem und berechne .


Aufgabe

Sei , . Zu sei

Berechne zu jedem zur summierbaren Familie

die Teilsummen

und berechne .


Aufgabe *

Bestimme, ob die Familie

summierbar ist oder nicht.


Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten der geometrischen Reihe im Entwicklungspunkt .

(Für ist es hilfreich, eine Formel für aufzustellen. Für wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül haben wir bald eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen. Dieser beruht für Potenzreihen allerdings auf dem Entwicklungssatz.)



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei , , eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe

absolut konvergiert.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine vorkommt. Zeige, dass

summierbar ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

summierbar ist oder nicht.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine Indexmenge und , , eine summierbare Familie von nichtnegativen reellen Zahlen. Zeige, dass die Teilmenge

abzählbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Koeffizienten der Exponentialreihe im Entwicklungspunkt .



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