Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24/latex

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\setcounter{section}{24}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathl{\int_{ 0 }^{ 8 } f ( t) \, d t}{,} wobei die Funktion $f$ durch
\mathdisp {f(t)= \begin{cases} t+1 , \text{ falls } 0 \leq t \leq 2 \, , \\ t^2-6t+11 , \text{ falls } 2 < t \leq 5 \, , \\ 6 , \text{ falls } 5 < t \leq 6 \, , \\ -2t+18 \, , \text{ falls } 6 < t \leq 8 \, , \end{cases}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \sqrt{x} - { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } + { \frac{ 1 }{ 2x+3 } } -e^{-x} } {,} über
\mathl{[1,4]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 2 }^{ 5 } \frac{x^2+3x-6}{x-1} \, d x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x) }
{ = }{ \sqrt{x} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eingeschlossen wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel
\mathl{\sqrt{x}}{} für
\mathl{x \in [1,4]}{.} Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von \mathkor {} {1} {und} {4} {} und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von $1$ und der Wurzel von $4$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall
\mathl{[6,22]}{} \zusatzklammer {in Stunden} {} {} durch die Funktion \maabbeledisp {f} {[6,22] } { \R } {t} {f(t) = -t^3+27t^2-120t } {,} beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für jedes
\mathl{n \in \N_+}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n+1 } } + { \frac{ 1 }{ n+2 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 2n } } }
{ \leq} { \ln 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Tipp: Betrachte die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem Intervall
\mathl{]0,1]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die zweite \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x) }
{ =} { \int_{ 0 }^{ x } \sqrt{t^5-t^3+2t} \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {g} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} und es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass die Funktion
\mathdisp {h(x)= \int_{ 0 }^{ g(x) } f(t) \, d t} { }
differenzierbar ist und bestimme ihre \definitionsverweis {Ableitung}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {[0,1]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Betrachte die durch
\mathdisp {a_n := \int_{ \frac{1}{n+1} }^{ \frac{1}{n} } f(t) \, d t} { }
definierte \definitionsverweis {Folge}{}{.} Entscheide, ob diese Folge \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}{} eine \definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{} mit
\mathl{a_n \in [0,1]}{} für alle
\mathl{n \in \N}{} und sei \maabb {f} {[0,1]} {\R } {} eine \definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass dann die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{a_n} f(x) dx} { }
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $f$ eine \definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{} auf $[a,b]$ mit $f(x) \ge 0$ für alle $x \in [a,b]$. Man zeige: Ist $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} in einem Punkt $c \in [a,b]$ mit $f(c)>0$, dann gilt
\mathdisp {\int_{a}^{b} f(x)dx >0} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man zeige, dass die Gleichung
\mathdisp {\int_{0}^{x} e^{t^2} dt =1} { }
eine einzige Lösung $x \in [0,1]$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} zwei \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\int_{a}^{b} f(x) dx =\int_{a}^{b} g(x) dx} { . }
Beweise, dass es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(c)=g(c)}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} zwei \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} und es sei
\mathl{g(t) \geq 0}{} für alle
\mathl{t \in [a,b]}{.} Zeige, dass es dann ein
\mathl{s \in [a,b]}{} gibt mit
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(t)g(t) \, d t =f(s) \int_{ a }^{ b } g(t) \, d t} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} mit
\mathdisp {\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx=0} { }
für jede stetige Funktion \maabb {g} {[a,b]} {\R } {.} Zeige $f=0$.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ 7 } \frac{x^3-2x^2-x+5}{x+1} \, d x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1} }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der beiden \definitionsverweis {Funktionen}{}{} \mathkor {} {f} {und} {g} {} mit
\mathdisp {f(x)=x^2 \text{ und } g(x)=-2x^2+3x+4} { }
eingeschlossen wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) } {,} mit
\mathdisp {f(t)= \begin{cases} 0 \text{ für } t=0, \\ \sin \frac{1}{t} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases}} { }
Zeige, unter Bezug auf die Funktion
\mathl{g(x)=x^2 \cos \frac{1}{x}}{,} dass $f$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Betrachte die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n^ { \frac{ 3 }{ 2 } } } } \sum_{i = 1}^n \sqrt{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {Folge}{}{.} Zeige, dass diese Folge \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {(Verwende Eigenschaften der Wurzelfunktion.)}




\inputaufgabe
{6}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {stetige}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {[0,1]} {\R } {} derart, dass es ein
\mathl{n \in \N}{} gibt mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {Treppenintegral}{}{} zur maximalen \definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{} zur äquidistanten Unterteilung in $n$ Teilintervalle größer ist als dasjenige zu
\mathl{n+1}{} Teilintervallen \zusatzklammer {d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation} {} {.}

}
{} {(Ignoriere zuerst die beiden Bedingungen stetig und streng.)}


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