Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Treppenintegral über $[-3,+4]$ zur Treppenfunktion, die durch

$f(t)=\{\begin{array}{c}5,\text{ falls }-3\le t\le -2,\\ -3,\text{ falls }-2<t\le -1,\\ \frac{3}{7},\text{ falls }-1<t<-\frac{1}{2},\\ 13,\text{ falls }t=-\frac{1}{2},\\ \pi ,\text{ falls }-\frac{1}{2}<t<e,\\ 0,\text{ falls }e\le t\le 3,\\ 1,\text{ falls }3<t\le 4,\end{array}$

gegeben ist.

Aufgabe *

a) Unterteile das Intervall $[-4,5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf $[-4,5]$, die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte $2$ und $-1$ annimmt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g:[a,b]⟶ℝ$

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch

1. $f+g$,
2. $f\cdot g$,
3. $max(f,g)$,
4. $min(f,g)$,

Treppenfunktionen sind.

Aufgabe

Es sei

$f:[a,b]⟶[c,d]$

eine Treppenfunktion und

$g:[c,d]⟶ℝ$

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_0^{1}tdt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_1^2{t}^{3}dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_{-2}^7-t^3+3t^2-2t+5dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe *

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)

${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1.$

Aufgabe

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]⟶ℝ,x⟼\frac{1}{x},$

weder das Unterintegral noch das Oberintegral existiert.

Aufgabe *

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen ${\left(s_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $s_n\le f$ und eine Folge von Treppenfunktionen ${\left(t_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $t_n\ge f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann $f$ Riemann-integrierbar ist und dass

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{s}_n(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{t}_n(x)dx$

gilt.

Aufgabe

Es sei $I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine monotone Funktion. Zeige, dass $f$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Die Funktion $f$ ist Riemann-integrierbar.
2. Es gibt eine Unterteilung  $a=a_0<a_1<\cdots <a_n=b$  derart, dass die einzelnen Einschränkungen  $f_i:=f{|}_{[a_{i-1},a_i]}$  Riemann-integrierbar sind.
3. Für jede Unterteilung  $a=a_0<a_1<\cdots <a_n=b$  sind die Einschränkungen  $f_i:=f{|}_{[a_{i-1},a_i]}$  Riemann-integrierbar.

Aufgabe

Es sei $I=[a,b]\subseteq ℝ$ ein kompaktes Intervall und es seien $f,g:I\to ℝ$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Ist $m\le f(x)\le M$ für alle $x\in I$, so ist $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(t)dt\le M(b-a)$.
2. Ist $f(x)\le g(x)$ für alle $x\in I$, so ist ${\int }_a^{b}f(t)dt\le {\int }_a^{b}g(t)dt$.
3. Es ist ${\int }_a^{b}f(t)+g(t)dt={\int }_a^{b}f(t)dt+{\int }_a^{b}g(t)dt$.
4. Für $c\in ℝ$ ist ${\int }_a^b(cf)(t)dt=c{\int }_a^{b}f(t)dt$.

Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und $f:I\to ℝ$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

$|{\int }_a^{b}f(t)dt|\le {\int }_a^b|f(t)|dt$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das bestimmte Integral

${\int }_a^b{t}^{2}dt$

in Abhängigkeit von $a$ und $b$ explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f:[a,b]⟶[c,d]$

und einer Treppenfunktion

$g:[c,d]⟶ℝ$

derart, dass die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]⟶ℝ,x⟼\frac{1}{\sqrt{x}},$

das Unterintegral existiert, aber nicht das Oberintegral.

Aufgabe (8 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_1^2\frac{1}{t^2}dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f:[0,1]⟶ℝ,t⟼f(t),$

mit

$f(t)=\{\begin{array}{c}0\text{ für }t=0,\\ \sin \frac{1}{t}\text{ für }t\ne 0.\end{array}$

Zeige, dass $f$ Riemann-integrierbar ist, dass es aber keine Treppenfunktion $s$ mit der Eigenschaft gibt, dass $|s(t)-f(t)|\le \frac{1}{2}$ für alle $t\in [0,1]$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien $f,g:I\to ℝ$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch $fg$ Riemann-integrierbar ist.