Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral ${\int }_0^{8}f(t)dt$, wobei die Funktion $f$ durch

$f(t)=\{\begin{array}{c}t+1,\text{ falls }0\le t\le 2,\\ t^2-6t+11,\text{ falls }2<t\le 5,\\ 6,\text{ falls }5<t\le 6,\\ -2t+18,\text{ falls }6<t\le 8,\end{array}$

gegeben ist.

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2x+3}-e^{-x},$

über $[1,4]$.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_2^5\frac{x^2+3x-6}{x-1}dx.$

Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu  $f(x)=x^2$  und  $g(x)=\sqrt{x}$  eingeschlossen wird.

Aufgabe *

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel $\sqrt{x}$ für  $x\in [1,4]$.  Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von $1$ und $4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von $1$ und der Wurzel von $4$.

Aufgabe *

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall $[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

$f:[6,22]⟶ℝ,t⟼f(t)=-t^3+27t^2-120t,$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Aufgabe *

Zeige, dass für jedes  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  die Abschätzung

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\le \ln 2$

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion  $f(x)=\frac{1}{x}$  auf dem Intervall $[1,2]$.

Aufgabe

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion

$F(x)={\int }_0^x\sqrt{t^5-t^3+2t}dt.$

Aufgabe

Es sei $g:ℝ\to ℝ$ eine differenzierbare Funktion und es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

$h(x)={\int }_0^{g(x)}f(t)dt$

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.

Aufgabe

Es sei $f:[0,1]\to ℝ$ eine stetige Funktion. Betrachte die durch

$a_n:={\int }_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(t)dt$

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Es sei $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ eine konvergente Reihe mit  $a_n\in [0,1]$  für alle  $n\in \mathbb{N}$  und sei $f:[0,1]\to ℝ$ eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{a_n}f(x)dx$

absolut konvergent ist.

Aufgabe

Es sei $f$ eine Riemann-integrierbare Funktion auf $[a,b]$ mit  $f(x)\ge 0$  für alle  $x\in [a,b]$.  Man zeige: Ist $f$ stetig in einem Punkt  $c\in [a,b]$  mit  $f(c)>0$,  dann gilt

${\int }_a^{b}f(x)dx>0.$

Aufgabe

Man zeige, dass die Gleichung

${\int }_0^x{e}^{t^2}dt=1$

eine einzige Lösung  $x\in [0,1]$  besitzt.

Aufgabe

Es seien

$f,g:[a,b]⟶ℝ$

zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}g(x)dx$

Beweise, dass es ein  $c\in [a,b]$  mit  $f(c)=g(c)$  gibt.

Aufgabe

Es seien

$f,g:[a,b]⟶ℝ$

zwei stetige Funktionen und es sei  $g(t)\ne 0$  für alle  $t\in [a,b]$.  Zeige, dass es dann ein  $s\in [a,b]$  mit

${\int }_a^{b}f(t)g(t)dt=f(s){\int }_a^{b}g(t)dt$

gibt.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Sinusfunktion zwischen $0$ und $\pi$.

Aufgabe *

Es sei

$f:[a,b]⟶ℝ$

stetig mit

${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=0$

für jede stetige Funktion $g:[a,b]\to ℝ$. Zeige  $f=0$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_1^7\frac{x^3-2x^2-x+5}{x+1}dx.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ mit

$f(x)=x^2\text{ und }g(x)=-2x^2+3x+4$

eingeschlossen wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,t⟼f(t),$

mit

$f(t)=\{\begin{array}{c}0\text{ für }t=0,\\ \sin \frac{1}{t}\text{ für }t\ne 0.\end{array}$

Zeige, unter Bezug auf die Funktion $g(x)=x^2\cos \frac{1}{x}$, dass $f$ eine Stammfunktion besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die durch

$a_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\sum _{i=1}^n\sqrt{i}$

gegebene Folge. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

(Verwende Eigenschaften der Wurzelfunktion.)

Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

$f:[0,1]⟶ℝ$

derart, dass es ein  $n\in \mathbb{N}$  mit der Eigenschaft gibt, dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion zur äquidistanten Unterteilung in $n$ Teilintervalle größer ist als dasjenige zu $n+1$ Teilintervallen (d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation).

(Ignoriere zuerst die beiden Bedingungen stetig und streng.)