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Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24

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Übungsaufgaben

Berechne das bestimmte Integral , wobei die Funktion durch

gegeben ist.


Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Berechne das bestimmte Integral


Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu und eingeschlossen wird.


Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel für . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von und und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von und der Wurzel von .


Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.


Zeige, dass für jedes die Abschätzung

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion auf dem Intervall .


Bestimme die zweite Ableitung der Funktion


Es sei eine differenzierbare Funktion und es sei eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.


Es sei eine stetige Funktion. Betrachte die durch

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Es sei eine konvergente Reihe mit für alle und sei eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

absolut konvergent ist.


Es sei eine Riemann-integrierbare Funktion auf mit für alle . Man zeige: Ist stetig in einem Punkt mit , dann gilt


Man zeige, dass die Gleichung

eine einzige Lösung besitzt.


Es seien

zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

Beweise, dass es ein mit gibt.


Es seien

zwei stetige Funktionen und es sei für alle . Zeige, dass es dann ein mit

gibt.


Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Sinusfunktion zwischen und .


Es sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen und mit

eingeschlossen wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

Zeige, unter Bezug auf die Funktion , dass eine Stammfunktion besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die durch

gegebene Folge. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

(Verwende Eigenschaften der Wurzelfunktion.)

Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

derart, dass es ein mit der Eigenschaft gibt, dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion zur äquidistanten Unterteilung in Teilintervalle größer ist als dasjenige zu Teilintervallen (d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation).

(Ignoriere zuerst die beiden Bedingungen stetig und streng.)


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