Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_0^{\sqrt{\pi }}x\sin x^{2}dx.$

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\tan x.$

Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^n\cdot \ln x.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{\sqrt{x}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\frac{x^3}{\sqrt[5]{x^4+2}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^3\cdot \cos x-x^2\cdot \sin x.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\arcsin x.$

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\frac{1+3\sqrt[6]{x-2}}{\sqrt[3]{(x-2{)}^2}-\sqrt{x-2}}.$

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$(\ln (1+\sin x))\cdot \sin x.$

Aufgabe

Es sei $I$ ein reelles Intervall und es sei

$f:I⟶ℝ$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und es seien  $b,c\in ℝ$.  Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$(bt+c)\cdot f(t).$

Aufgabe

Es sei

$f:[a,b]⟶[c,d]$

eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion. Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral

${\int }_c^d{f}^{-1}(y)dy$

die Substitution  $y=f(x)$  durchführt und anschließend partiell integriert.

Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

${ℝ}_{+}⟶{ℝ}_{+},x⟼x^{1/n},$

unter Verwendung der Stammfunktion von $x^n$ und Satz 25.5.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

Aufgabe *

Begründe den Zusammenhang

${\int }_1^{ab}\frac{1}{x}dx={\int }_1^a\frac{1}{x}dx+{\int }_1^b\frac{1}{x}dx$

für $a,b\in {ℝ}_{+}$ allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral

${\int }_0^1\frac{x}{\sqrt[3]{5x+1}}dx.$

Aufgabe *

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

$\sqrt{3x^2+5x-4}.$

Aufgabe

Bestimme die Flächeninhalte der beiden rechts skizzierten, durch die blauen Kurven umrandeten Gebiete.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\sin (\ln x).$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^x\cdot \frac{x^2+1}{(x+1{)}^2}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $I$ ein reelles Intervall und es sei

$f:I⟶ℝ$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und $H$ eine Stammfunktion von $G$. Es seien  $a,b,c\in ℝ$.  Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$(a{t}^2+bt+c)\cdot f(t)$

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei

$\phi :[c,d]⟶[a,b]$

eine streng wachsende, bijektive Funktion und

$f:[a,b]⟶ℝ$

eine Treppenfunktion.

a) Zeige, dass $f\circ \phi$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

b) Es sei nun $\phi$ zusätzlich stetig differenzierbar. Bestätige die Gleichung

${\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_c^{d}f(\phi (s)){\phi }^{\prime }(s)ds$

direkt, ohne Bezug auf die Substitutionsregel.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $g:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion. Betrachte die Funktion

$f(x)={\int }_0^x\sin (t)g(x-t)dt$

für  $x\in ℝ$.  Zeige, dass $f$ eine zweite Ableitung besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt:

$f^{\prime \prime }+f=g.$

(Mit einer geeigneten Substitution kann man erreichen, dass die Variable $x$ nicht mehr als Argument der Funktion $g$ auftritt. Danach geht es darum, geeignete trigonometrische Formeln anzuwenden.)

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f:[0,1]⟶{ℝ}_{+}$

eine differenzierbare Funktion mit  $f^{\prime }(x)>0$  für alle  $x>0$.  Für welche Punkte  $t\in [0,1]$  besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?