Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 35/latex
\setcounter{section}{35}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$. Zeige für den
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $T$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{T}
}
{ =} { \bigcap_{T \subseteq A \subseteq M, \, A \text{ abgeschlossen} } A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Abschluss}{}{} von $\Q$ in $\R$
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es sei
\maabbdisp {f} {T} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
in einen
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$ mit den
\definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
\maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {T} {\R
} {}
bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)} { }
genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f_j(x)} { }
existieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es seien
\maabb {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
und
\maabb {g} {T} { {\mathbb K}
} {}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{} derart, dass die
\definitionsverweis {Grenzwerte}{}{}
\mathkor {} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)} {und} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} {}
existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.
\aufzaehlungdrei{Die Summe
\mathl{f+g}{} besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, (f(x)+g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) + \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} { . }
}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, (f(x) \cdot g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) \cdot \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} { . }
}{Es sei
\mathl{g(x) \neq 0}{} für alle
\mathl{x \in T}{} und $\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x) \neq 0$. Dann besitzt der Quotient
\mathl{f/g}{} einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) }{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x) }} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge eines
\definitionsverweis {metrischen Raumes}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{}
von $T$,
\maabbdisp {g} {T} {L
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
in einen weiteren metrischen Raum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)
}
{ =} { b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, d { \left( g(x), b \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Neighborhood_edge.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Neighborhood edge.png } {} {Zasdfgbnm} {Commons} {gemeinfrei} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Randpunkt}{} von $T$, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der offene Ball
\mathdisp {U { \left( x,\epsilon \right) }} { }
sowohl Punkte aus $T$ als auch Punkte aus
\mathl{M \setminus T}{} enthält.
Die Menge aller Randpunkte von $T$ heißt \definitionswort {Rand}{} von $T$, geschrieben $\operatorname{Rand} \, (T)$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rand}{}{}
von $T$ gleich dem Durchschnitt von
\mathkor {} {\overline{ T }} {und} {\overline{ M \setminus T }} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rand}{}{}
von $T$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {T \cup \operatorname{Rand} \, (T)} { }
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {T \setminus \operatorname{Rand} \, (T)} { }
\definitionsverweis {offen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist, wenn die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Rand} \, (T)
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ ein nichtleeres \definitionsverweis {reelles}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{} und $x \in I$ ein Punkt. Bestimme die Teilmengen von $I \setminus \{x\}$, die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den Zwischenwertsatz mit Satz 35.9 und Satz 35.10.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ eine \definitionsverweis {offene}{}{} \zusatzklammer {oder \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Kugel}{}{} im $\R^n$. Zeige, dass $T$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass $\R^n \setminus \{P\}$
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
\mathl{I \subseteq \R}{}
\definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche den
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
auf
\definitionsverweis {Zusammenhangseigenschaften}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in $\R$ der nichtleere Durchschnitt von \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} Teilmengen wieder zusammenhängend ist. Muss dies auch für den nichtleeren Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen im $\R^2$ gelten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei $M=A \cup B$ mit nichtleeren Teilmengen $A,B \subseteq M$ und $A \cap B = \emptyset$. Es gebe ein $\delta > 0$ mit
\mathdisp {d(x,y) \geq \delta \text { für alle } x \in A,\, y \in B} { . }
Zeige, dass $A$
\zusatzklammer {und auch $B$} {} {}
sowohl
\definitionsverweis {offen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rand}{}{} von $T$ genau dann leer ist, wenn $T$ sowohl
\definitionsverweis {offen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Es sei $T$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}
Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
$\overline{ T }$
zusammenhängend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {offene}{}{,}
nicht
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
Teilmenge
\mathl{U \subseteq \R^2}{} mit der Eigenschaft, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von $U$ zusammenhängend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
der Menge
\mathl{T= U { \left( 0,1 \right) } \cap \Q^2}{} in $\R^2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,r
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der \stichwort {Kreis} {} mit dem \stichwort {Mittelpunkt} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (a,b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem \stichwort {Radius} {} $r$. Es sei $G$ eine \stichwort {Gerade} {} in $\R^2$ mit der Eigenschaft, dass es auf $G$ mindestens einen Punkt $P$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(M,P)
}
{ \leq }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K \cap G
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
| << | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II | >> |
|---|