Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 34

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und ${}m\in M$. Zeige, dass die konstante Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto m,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die Identität

$M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion ${}T\subseteq M$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen. Es seien

$f\colon [a,b]\longrightarrow M$

und

$g\colon [b,c]\longrightarrow M$

stetige Abbildungen mit ${}f(b)=g(b)$. Zeige, dass dann die Abbildung

$h\colon [a,c]\longrightarrow M$

mit

$h(t)=f(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}h(t)=g(t){\text{ für }}t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in M$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$. Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y$ aus einer offenen Ballumgebung von ${}x$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Addition

${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und die Multiplikation

${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

stetig sind.

Aufgabe

Es seien ${}L,M,N$ metrische Räume und seien

$f:L\longrightarrow M\,\,{\text{ und }}\,\,g:M\longrightarrow N$

Abbildungen. Es sei ${}f$ stetig in ${}x\in L$ und es sei ${}g$ stetig in ${}f(x)\in M$. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)),$

stetig in ${}x$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Raum. Zeige, dass die Norm

$V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

eine stetige Abbildung ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\max {\left(x,y\right)}},$

stetig ist.

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

$f(x,y):={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x\leq 0\,,\\0\,,{\text{ falls }}y\leq 0\,,\\y/x\,,{\text{ falls }}x\geq y>0\,,\\x/y\,,{\text{ falls }}y>x>0\,,\end{cases}}$

definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jeder zur ${}x$-Achse oder zur ${}y$-Achse parallelen Geraden stetig ist, dass aber ${}f$ selbst nicht stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum im euklidischen Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}V$ abgeschlossen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass der Graph von ${}f$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe *

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es seien

$f,g\colon L\longrightarrow M$

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

${}N={\left\{x\in L\mid f(x)=g(x)\right\}}\,$

abgeschlossen in ${}L$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

$\varphi \colon [0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t).$

Zeige, dass ${}\varphi$ eine Bijektion zwischen ${}[0,2\pi [$ und dem Einheitskreis definiert, die stetig ist, deren Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}X=\mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik und ${}Y=\mathbb {R} ^{n}$ mit der diskreten Metrik. Es sei

$f\colon Y\longrightarrow X$

die Identität. Zeige, dass ${}f$ stetig ist, die Umkehrabbildung ${}f^{-1}$ aber nicht.

Aufgabe *

Zeige, dass das offene Einheitsintervall ${}]0,1[$ und das abgeschlossene Einheitsintervall ${}[0,1]$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Stifte eine Homöomorphie zwischen der abgeschlossenen Kreisscheibe und dem abgeschlossenen Quadrat.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b[$ ein halboffenes Intervall. Kann man ${}I$ in zwei disjunkte Unterräume ${}I=T_{1}\cup T_{2}$ derart zerlegen, dass ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ untereinander homöomorph sind?

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Polynomfunktion und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen ${}z_{i},\,i=1,\ldots ,n$. Zeige, dass ${}f$ auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei

$g\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ eine polynomiale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Determinante

${\mathbb {K} }^{n^{2}}\cong \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,M\longmapsto \det M,$

eine polynomiale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}G=\operatorname {Gl} (n,\mathbb {R} )$ die Menge der reellen invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen. Zeige, dass die Abbildung

$G\longrightarrow G,\,M\longmapsto M^{-1},$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Ist das Urbild eines offenen Balles ${}U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq M$ stets wieder ein offener Ball in ${}L$?

Aufgabe

Betrachte die Funktionenfolge

$f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,1],\,x\longmapsto x^{n}.$

Berechne die Grenzfunktion dieser Funktionenfolge, deren Integral (wenn es existiert), die Integrale ${}\int _{0}^{1}f_{n}(t)\,dt$ und deren Grenzwert für ${}n\rightarrow \infty$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Im Nullpunkt ${}0\in \mathbb {R} ^{3}$ befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch ${}x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut ${}N\cong \mathbb {R} ^{2}$ (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

$\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?

Aufgabe (8 Punkte)

Ein Billardtisch sei ${}127$ cm breit und ${}254$ cm lang, die Kugeln haben einen Radius von ${}2$ cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis mit Radius ${}5$ cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.

Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?

Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:

a) (63.5, 63.5)

b) (100, 100)

c) (63.5, 192,5)

d) (63.5, 10)

Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe eine Homöomorphie zwischen ${}]0,1[$ und ${}\mathbb {R}$ an.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I={]a,b[}$ ein offenes Intervall. Kann man ${}I$ in zwei disjunkte Unterräume ${}I=T_{1}\cup T_{2}$ derart zerlegen, dass ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ untereinander homöomorph sind?

Aufgabe (10 Punkte)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall. Kann man ${}I$ in zwei disjunkte Unterräume ${}I=T_{1}\cup T_{2}$ derart zerlegen, dass ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ untereinander homöomorph sind?

Fußnoten