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Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 36

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Übungsaufgaben

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und , die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass auch gleichmäßig stetig ist.



Zeige, dass die Betragsfunktion

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist.



Sei

eine wachsende Funktion, die zugleich eine starke Kontraktion sei. Zeige, dass dann die Funktion

streng fallend ist.



Es sei

eine wachsende differenzierbare Funktion mit

für alle und ein . Zeige, dass eine starke Kontraktion ist.



Wir betrachten die Funktion

  1. Zeige, dass der einzige Fixpunkt von ist.
  2. Zeige, dass Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist.
  3. Zeige, dass keine starke Kontraktion ist.
  4. Zeige, dass zu jedem Startwert die rekursiv definierte Folge gegen konvergiert.



Zeige, dass der euklidische Raum vollständig ist.



Es sei eine konvergente Folge in einem metrischen Raum mit dem Grenzwert . Zeige, dass die Teilmenge

(mit der induzierten Metrik) vollständig ist.



Es sei eine Menge und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann einen Fixpunkt besitzt, wenn der Durchschnitt des Graphen von mit der Diagonalen nicht leer ist.



Es sei

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion

die keinen Fixpunkt besitzt.



Es sei eine nichtleere Teilmenge, .

a) sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

b) sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.


In der folgenden Aufgaben seien die Homomorphismenräume mit der Norm

versehen.


Zeige, dass eine lineare Abbildung

zwischen zwei euklidischen Vektorräumen und genau dann stark kontrahierend ist, wenn ist.



Es sei abgeschlossen und beschränkt und sei ein vollständiger metrischer Raum. Es sei die Menge der stetigen Abbildungen von nach . Definiere eine Metrik auf derart, dass selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.



Es sei ein metrischer Raum und sei

eine Abbildung. Mit bezeichnen wir die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst.

a) Zeige, dass wenn Lipschitz-stetig ist, dass dann auch Lipschitz-stetig ist.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung , die keine starke Kontraktion, wo aber jedes für eine starke Kontraktion ist.

c) Es sei Lipschitz-stetig und es sei eine starke Kontraktion für ein gewisses . Zeige, dass es ein derart gibt, dass für jedes eine starke Kontraktion ist.



Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.



Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein vollständiger metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann vollständig ist, wenn abgeschlossen ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion

die keinen Fixpunkt besitzt.



Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

folgende Eigenschaften besitzt: Es ist

für alle , , aber ist nicht stark kontrahierend.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass Lipschitz-stetig ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (6 Punkte)

Man fertige eine Animation an, die den Banachschen Fixpunktsatz anhand eines „Karte in der Karte“-Modells illustriert.



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