Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 36
- Übungsaufgaben
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und , die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass auch gleichmäßig stetig ist.
Sei
eine wachsende Funktion, die zugleich eine starke Kontraktion sei. Zeige, dass dann die Funktion
streng fallend ist.
Es sei
eine wachsende differenzierbare Funktion mit
für alle und ein . Zeige, dass eine starke Kontraktion ist.
Wir betrachten die Funktion
- Zeige, dass der einzige Fixpunkt von ist.
- Zeige, dass Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist.
- Zeige, dass keine starke Kontraktion ist.
- Zeige, dass zu jedem Startwert die rekursiv definierte Folge gegen konvergiert.
Zeige, dass der euklidische Raum vollständig ist.
Es sei eine konvergente Folge in einem metrischen Raum mit dem Grenzwert . Zeige, dass die Teilmenge
(mit der induzierten Metrik) vollständig ist.
Es sei eine Menge und es sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann einen Fixpunkt besitzt, wenn der Durchschnitt des Graphen von mit der Diagonalen nicht leer ist.
Es sei eine nichtleere Teilmenge, .
a) sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion
gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
b) sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion
gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
In der folgenden Aufgaben seien die
Homomorphismenräume
mit der
Norm
versehen.
Zeige, dass eine lineare Abbildung
zwischen zwei euklidischen Vektorräumen und genau dann stark kontrahierend ist, wenn ist.
Es sei abgeschlossen und beschränkt und sei ein vollständiger metrischer Raum. Es sei die Menge der stetigen Abbildungen von nach . Definiere eine Metrik auf derart, dass selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.
Es sei ein metrischer Raum und sei
eine Abbildung. Mit bezeichnen wir die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst.
a) Zeige, dass wenn Lipschitz-stetig ist, dass dann auch Lipschitz-stetig ist.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung , die keine starke Kontraktion, wo aber jedes für eine starke Kontraktion ist.
c) Es sei Lipschitz-stetig und es sei eine starke Kontraktion für ein gewisses . Zeige, dass es ein derart gibt, dass für jedes eine starke Kontraktion ist.
Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.
Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
surjektiv ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein vollständiger metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann vollständig ist, wenn abgeschlossen ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass die Funktion
folgende Eigenschaften besitzt: Es ist
für alle , , aber ist nicht stark kontrahierend.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.
- Aufgabe zum Hochladen
Aufgabe * (6 Punkte)
Man fertige eine Animation an, die den Banachschen Fixpunktsatz anhand eines „Karte in der Karte“-Modells illustriert.
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