Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 36

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und , die Lipschitz-stetig sei. Zeige, dass auch gleichmäßig stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Betragsfunktion

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist.


Aufgabe

Sei

eine wachsende Funktion, die zugleich eine starke Kontraktion sei. Zeige, dass dann die Funktion

streng fallend ist.


Aufgabe

Es sei

eine wachsende differenzierbare Funktion mit

für alle und . Zeige, dass eine starke Kontraktion ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante , aber keine starke Kontraktion ist. Zeige ferner, dass zu jedem die rekursiv definierte Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass der euklidische Raum vollständig ist.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge in einem metrischen Raum mit dem Grenzwert . Zeige, dass die Teilmenge

(mit der induzierten Metrik) vollständig ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann einen Fixpunkt besitzt, wenn der Durchschnitt des Graphen von mit der Diagonalen nicht leer ist.


Aufgabe

Es sei

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion

die keinen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe *

Es sei eine nichtleere Teilmenge, .

a) sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

b) sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.


In der folgenden Aufgaben seien die Homomorphismenräume mit der Norm

versehen.

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung

zwischen zwei euklidischen Vektorräumen und genau dann stark kontrahierend ist, wenn ist.


Aufgabe

Sei abgeschlossen und beschränkt, und sei ein vollständiger metrischer Raum. Sei die Menge der stetigen Abbildungen von nach . Definiere eine Metrik auf derart, dass selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.


Aufgabe *

Es sei ein metrischer Raum und sei

eine Abbildung. Mit bezeichnen wir die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst.

a) Zeige, dass wenn Lipschitz-stetig ist, dass dann auch Lipschitz-stetig ist.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung , die keine starke Kontraktion, wo aber jedes für eine starke Kontraktion ist.

c) Es sei Lipschitz-stetig und es sei eine starke Kontraktion für ein gewisses . Zeige, dass es ein derart gibt, dass für jedes eine starke Kontraktion ist.


Aufgabe

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe *

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein vollständiger metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann vollständig ist, wenn abgeschlossen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine starke Kontraktion

die keinen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

folgende Eigenschaften besitzt: Es ist
für alle

, , aber ist nicht stark kontrahierend.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass Lipschitz-stetig ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (6 Punkte)

Man fertige eine Animation an, die den Banachschen Fixpunktsatz anhand eines „Karte in der Karte“-Modells illustriert.



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