Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 36/latex

\setcounter{section}{36}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {,} die \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} sei. Zeige, dass $f$ auch \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} mit \definitionsverweis {Lipschitz-Konstante}{}{} $1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{,} die zugleich eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} sei. Zeige, dass dann die Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {f(x)-x } {,} streng fallend ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {wachsende}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ \leq} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in \R}{} und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_{\leq 0} } {\R_{\leq 0} } {x} { e^x -1 } {.} \aufzaehlungvier{Zeige, dass $0$ der einzige \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} von $f$ ist. }{Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} mit \definitionsverweis {Lipschitz-Konstante}{}{} $1$ ist. }{Zeige, dass $f$ keine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} ist. }{Zeige, dass zu jedem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ \in }{ \R_{\leq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die rekursiv definierte Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ \defeq }{ f(x_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {euklidische Raum}{}{} $\R^n$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$ mit dem Grenzwert $x$. Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { { \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} } \cup \{x\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit der \definitionsverweis {induzierten Metrik}{}{}} {} {} \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und es sei \maabbdisp {F} {M} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt, wenn der Durchschnitt des \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $F$ mit der \definitionsverweis {Diagonalen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle }
{ = }{ { \left\{ (x,x) \in M \times M \mid x \in M \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht leer ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {D= { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 0 < \Vert {(x,y)} \Vert \leq 1 \right\} }} { . }
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} \maabbdisp {f} {D} {D } {,} die keinen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{T \subseteq \R^n}{} eine nichtleere Teilmenge,
\mathl{n \geq 1}{.}

a) $T$ sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

b) $T$ sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

}
{} {}

In der folgenden Aufgaben seien die \definitionsverweis {Homomorphismenräume}{}{}
\mathl{\operatorname{Hom} \, (V,W)}{} mit der \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi} \Vert }
{ \defeq} {{\operatorname{sup} \, ( \Vert { \varphi(v)} \Vert , \Vert {v} \Vert = 1 ) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} versehen.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann \definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{} ist, wenn
\mathl{\Vert {\varphi} \Vert < 1}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{} und sei $M$ ein \definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{.} Es sei
\mathl{C}{} die Menge der \definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{} von $T$ nach $M$. Definiere eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} auf $C$ derart, dass $C$ selbst zu einem vollständigen metrischen Raum wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei \maabbdisp {f} {M} {M } {} eine Abbildung. Mit
\mathl{f^{\circ n}}{} bezeichnen wir die $n$-fache Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass wenn $f$ \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist, dass dann auch
\mathl{f^{\circ n}}{} Lipschitz-stetig ist.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung $f$, die keine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{,} wo aber jedes
\mathl{f^{\circ n}}{} für
\mathl{n \geq 2}{} eine starke Kontraktion ist.

c) Es sei $f$ Lipschitz-stetig und es sei
\mathl{f^{\circ k}}{} eine starke Kontraktion für ein gewisses $k$. Zeige, dass es ein $n_0$ derart gibt, dass
\mathl{f^{\circ n}}{} für jedes
\mathl{n \geq n_0}{} eine starke Kontraktion ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ {\mathbb C}[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{} \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass $F$ in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{} zerfällt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C}[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { P(z) } {,} surjektiv ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann vollständig ist, wenn $T$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\Q } {,} die keinen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_{ >1}} {\R } {x} {f(x) = 1 + \ln x } {,} folgende Eigenschaften besitzt: Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(y) } }
{ <} { \betrag { x-y } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathbed {x,y \in \R_{>1}} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,} aber $f$ ist nicht \definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{} \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit \definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad \mathkor {} {1} {oder} {2} {} schreiben kann.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Man fertige eine Animation an, die den Banachschen Fixpunktsatz anhand eines \anfuehrung{Karte in der Karte}{-}Modells illustriert.

}
{} {}