Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 39/latex

\setcounter{section}{39}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Integral zu einer \definitionsverweis {stetigen Kurve}{}{} \maabbdisp {} {[a,b]} {V } {} in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ unabhängig von der gewählten Basis ist.

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise den \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für \definitionsverweis {stetige Kurven}{}{} \maabbdisp {g} {I} {V } {,} wobei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} sei.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^3 } {t} { \left( t^2 , \, t^5-1 , \, t+ \sin t \right) } {.} Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 1 \end{pmatrix}} { . }
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über
\mathl{[a,b]}{,} und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[2,7]} {\R^2 } {t} {\left( t^2-1,t+3 \right) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x,y) }
{ =} { \left( y^2-x , \, -3xy-y^3 \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[1,6]} {\R^3 } {t} {{ \left( t^2,t^3,t \right) } } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z) }
{ =} { { \left( y^2-xz^2,xy,-3xz-y^3z \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Wegintegral
\mathl{\int_\gamma F}{} zum Vektorfeld \maabbeledisp {F} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(y,x) } {,} längs des Weges \maabbeledisp {\gamma} {[-1,1]} {\R^2 } {t} {(t,e^t) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[-1,1]} {\R^3 } {t} {{ \left( t^2,-t^2+1,t \right) } } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z) }
{ =} { { \left( y^2-xz,xyz,5x^2z-yz \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^3 } {t} {( \cos t , \sin t, t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z) }
{ =} { (y-z^3, x^2, -xz) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur archimedischen Spirale \maabbeledisp {} {[0, 2\pi]} {\R^2 } {t} {\left( t \cos t , \, t \sin t \right) } {,} im \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } { \left( x , \, y \right) } { \left( y , \, -x \right) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d,r,s \geq 1}{} \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {} {[0,1]} {\R^2 } {t} {(t^r,t^s) } {.} Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mathdisp {F(x,y) = (x^ay^b ,x^c y^d)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^2 } {t} {( \cos t , \sin t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zu den folgenden \definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{.}

a)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y) }
{ = }{ (x,y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}

b)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y) }
{ = }{ (x,-y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}

c)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y) }
{ = }{ (y,x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}

d)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y) }
{ = }{ (y,-x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {F} {\R} {\R } {} ein \definitionsverweis {stetiges}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} { \R } {} ein \definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{.} Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} zu $F$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_\gamma F }
{ =} { G( \gamma(b)) -G(\gamma (a)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das identische Vektorfeld \maabbeledisp {F} {\R^n} {\R^n } {P} {P } {.} Zeige, dass für je zwei Punkte
\mathl{P,Q \in \R^n}{} und für jeden \definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{} \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {\R^n } {} mit \mathkor {} {\gamma(a)=P} {und} {\gamma(b)=Q} {} das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} gleich
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {Q} \Vert^2 - \Vert {P} \Vert^2 \right) }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{U \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} in einem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{,} \maabbdisp {F,G} {U} {V } {} \definitionsverweis {stetige Vektorfelder}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U } {} eine \zusatzklammer {stückweise} {} {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Für
\mathl{r,s\in \R}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_\gamma rF+sG }
{ =} { r \int_\gamma F + s \int_\gamma G }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{- \gamma} F }
{ =} {- \int_\gamma F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mathl{- \gamma}{} den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet. }{Wenn \maabbdisp {\delta} {[b,c]} {U } {} ein weiterer \zusatzklammer {stückweise} {} {} stetig differenzierbarer Weg mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta(b) }
{ = }{ \gamma(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{\gamma * \delta} F }
{ =} {\int_\gamma F + \int_\delta F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mathl{\gamma * \delta}{} den aneinander gelegten Weg bezeichnet. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^3 } {t} { \left( t^2 , \, t^5-1 , \, t+ \sin t \right) } {.} Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 1 \end{pmatrix}} { . }
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über
\mathl{[a,b]}{,} und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[-2,5]} {\R^3 } {t} {\left( t^2 , \, -t^3 , \, t^2-t+4 \right) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z) }
{ =} { \left( y^3-x^2z^2 , \, x^2y , \, 5x^3z-y^2z \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {\gamma} {[0,1]} {\R^3 } {t} {(t,-t,t^2) } {,} und das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} {(x^2,xz,y^2) } {.}

a) Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{.}

b) Es sei \maabbeledisp {g} {[0, { \frac{ \pi }{ 2 } } ] } { [0,1] } {s} { \sin s } {,} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma} }
{ = }{ \gamma \circ g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne \zusatzklammer {unabhängig von a)} {} {}
\mathl{\int_{\tilde{\gamma} } F}{}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} { { \left( x^2-e^y, xy + \cos x \right) } } {.} Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 } { \left( x , \, y \right) } { \left( { \frac{ x^3-xy+2y^2 }{ x^2+y^2 } } , \, { \frac{ y }{ x^2+y^2 } } \right) } {.} Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von
\mathl{(0,-2)}{} nach
\mathl{(3,4)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten das konstante \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^n} {\R^n } {P} {v } {.} Zeige, dass für zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jeden \definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{} \maabb {\gamma} {[a,b]} {\R^n } {} mit \mathkor {} {\gamma(a)=P} {und} {\gamma(b)=Q} {} das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} gleich
\mathl{\left\langle Q-P , v \right\rangle}{} ist.

}
{} {}