Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 40

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die[1] Lösung des Anfangswertproblems


Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems


Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

und zur Anfangsbedingung

(dabei seien fixierte reelle Zahlen).


Aufgabe

Wie löst man eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem stetigen ortsunabhängigen Vektorfeld


Aufgabe

Sei

ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung

genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ist, wenn ist für alle .


Aufgabe *

Es sei

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

zum Vektorfeld

Zeige, dass auch

zu jedem eine Lösung ist.


Aufgabe *

Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein fixierter Vektor und

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

für alle . Es sei

eine Lösung zur Differentialgleichung

Zeige, dass auch

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.


Aufgabe

Es sei ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem zum Vektorfeld

gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.


Aufgabe

Finde alle Lösungen des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld


Aufgabe *

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

(zu fixierten ) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei )

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

zu dieser Differentialgleichung an.


Aufgabe

Finde die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe *

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe *

Es sei ein Vektorfeld der Form

mit einer stetigen Funktion

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

Zeige, dass

eine Lösung der Differentialgleichung

ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

und zur Anfangsbedingung .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen und

ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei

eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gebe zwei Zeitpunkte in mit . Zeige, dass es dann eine auf ganz definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.




Fußnoten
  1. Mit dieser Formulierung wird hier und im Folgenden implizit benutzt, dass die Lösung eindeutig ist. In den meisten der hier gestellten Aufgaben ergibt sich die Eindeutigkeit direkt, sie ist aber nicht Teil der Aufgabenstellung.


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