Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 64/latex

\setcounter{section}{64}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {äußeres Maß}{}{} die Subadditivitätseigenschaft für beliebige \definitionsverweis {abzählbare}{}{} Vereinigungen besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal P }$ ein \definitionsverweis {Präring}{}{} auf $M$, \maabbdisp {\mu} {{\mathcal P }} { \overline{\R}_{\geq 0} } {} ein \definitionsverweis {äußeres Maß}{}{} auf $M$ und $\tilde{\mu}$ die \definitionsverweis {Fortsetzung}{}{} von $\mu$ auf die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{.} Zeige, dass für jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{\mu} (S) }
{ \leq} { \tilde{\mu} (S \cap Z ) + \tilde{\mu} (S \cap (M \setminus Z) ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Infimum}{}{} über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die $\Z$ überdecken.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zu jeder rationalen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei ein Intervall
\mathl{[a_q,b_q]}{} derart gegeben, dass $q$ in dessen Innern liegt, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q }
{ \in }{ {]a_q,b_q[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\bigcup_{q \in \Q} [a_q,b_q] }
{ =} { \R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Infimum}{}{} über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die $\Q$ überdecken.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{T \subseteq \R^k}{} eine \definitionsverweis {abzählbare Menge}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Infimum}{}{} über die Summe der Volumina der beteiligten offenen \definitionsverweis {Intervall-Quader}{}{} zu \definitionsverweis {Überpflasterungen}{}{} von $T$ aus solchen Quadern gleich $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \Z \times \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Infimum}{}{} über die Summe der Flächen zu \definitionsverweis {Überpflasterungen}{}{} von $T$ mit offenen Rechtecken gleich $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{\Q \times \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Infimum}{}{} über die Summe der Flächen zu \definitionsverweis {Überpflasterungen}{}{} von $T$ mit offenen Rechtecken gleich $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} { \R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{} und $T$ der \zusatzklammer {abgeschlossene} {} {} \definitionsverweis {Subgraph}{}{} von $f$. Zeige, dass das \definitionsverweis {äußere Maß}{}{} von $T$ \zusatzklammer {zu dem Rechtecksprämaß} {} {} gleich dem \definitionsverweis {bestimmten Integral}{}{}
\mathl{\int_a^b f(t)dt}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \anfuehrung{vertrauten geometrischen Figuren}{} kann man als \zusatzklammer {verallgemeinerte} {} {} \definitionsverweis {Quader}{}{} in
\mathl{\R \times \R}{} oder in
\mathl{\R \times \R^2}{} auffassen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathbed {M} {und}
{N} {}
{} {} {} {} Mengen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M \times N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(x) }
{ = }{ { \left\{ y \in N \mid (x,y) \in T \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\{x \} \times T(x)}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {T \hookrightarrow M \times N \stackrel{p_1}{ \longrightarrow} M} { }
über $x$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathbed {(M, {\mathcal A } )} {und}
{(N, {\mathcal B } )} {}
{} {} {} {} zwei \definitionsverweis {Messräume}{}{,} die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von
\mathl{M \times N}{} seien mit der durch
\mathl{{\mathcal A } \otimes {\mathcal B }}{} \definitionsverweis {induzierten}{}{} $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} versehen. Es sei
\mathl{S \subseteq M}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungfuenf{ $S$ ist eine messbare Teilmenge von $M$. }{ Es gibt ein
\mathl{y \in N}{} derart, dass
\mathl{S \times \{y\} \subseteq M \times \{y\}}{} messbar ist. }{ Für alle
\mathl{y \in N}{} ist
\mathl{S \times \{y\} \subseteq M \times \{y\}}{} messbar. }{ Es gibt ein
\mathl{y \in N}{} derart, dass
\mathl{S \times \{y\}}{} messbar in
\mathl{M \times N}{} ist. }{ Für alle
\mathl{y \in N}{} ist
\mathl{S \times \{y\}}{} messbar in
\mathl{M \times N}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Diagonale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle }
{ =} {{ \left\{ (x,y) \in X \times X \mid x = y \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{} im \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{X \times X}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{M,N_1,N_2}{} \definitionsverweis {Messräume}{}{} und es seien \maabb {f_1} {M} {N_1 } {} und \maabb {f_2} {M} {N_2 } {} \definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass auch die Abbildung \maabbeledisp {(f_1,f_2)} {M} {N_1 \times N_2 } {x} {(f_1(x), f_2(x)) } {,} messbar ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei ${\mathcal P }$ ein \definitionsverweis {Präring}{}{} auf $\R$, der die Intervalle
\mathbed {[a,b]} {}
{a < b} {}
{} {} {} {,} enthalte, und es sei $\mu$ ein \definitionsverweis {äußeres Maß}{}{} darauf, das auf diesen Intervallen den Wert
\mathl{b-a}{} besitze. Zeige, dass die \definitionsverweis {Fortsetzung dieses äußeren Maßes}{}{} auf allen \definitionsverweis {abzählbaren}{}{} Teilmengen von $\R$ den Wert $0$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Urbild}{}{} der \definitionsverweis {Einheitskreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unter den Inklusionsabbildungen \maabbeledisp {\iota_y} {\R} {\R^2 } {x} {(x,y) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mathl{(M_1, {\mathcal A }_1) , \ldots , (M_n, {\mathcal A }_n)}{} Mengen mit darauf erklärten $\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Produkt}{}{-}$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{{\mathcal A }_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } {\mathcal A }_n}{} die kleinste $\sigma$-Algebra auf
\mathl{M_1 \times \cdots \times M_n}{} ist, für die alle \definitionsverweis {Projektionen}{}{} \definitionsverweis {messbar}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} zwei \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und mit den zugehörigen $\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} der \definitionsverweis {Borelmengen}{}{} \mathkor {} {{\mathcal B }(X)} {und} {{\mathcal B }(Y)} {.} Zeige, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{X \times Y}{} mit dem \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \mathkor {} {{\mathcal B }(X)} {und} {{\mathcal B }(Y)} {} übereinstimmt.

}
{} {}