Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 64

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass ein äußeres Maß die Subadditivitätseigenschaft für beliebige abzählbare Vereinigungen besitzt.


Aufgabe

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Zeige, dass für jede Teilmenge die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Bestimme das Infimum über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die überdecken.


Aufgabe

Zu jeder rationalen Zahl sei ein Intervall derart gegeben, dass in dessen Innern liegt, also . Ist


Aufgabe

Bestimme das Infimum über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die überdecken.


Aufgabe

Es sei eine abzählbare Menge. Zeige, dass das Infimum über die Summe der Volumina der beteiligten offenen Intervall-Quader zu Überpflasterungen von aus solchen Quadern gleich ist.


Aufgabe

Es sei . Zeige, dass das Infimum über die Summe der Flächen zu Überpflasterungen von mit offenen Rechtecken gleich ist.


Aufgabe

Es sei . Zeige, dass das Infimum über die Summe der Flächen zu Überpflasterungen von mit offenen Rechtecken gleich ist.


Aufgabe

Es sei

eine Riemann-integrierbare Funktion und der (abgeschlossene) Subgraph von . Zeige, dass das äußere Maß von (zu dem Rechtecksprämaß) gleich dem bestimmten Integral ist.


Aufgabe

Welche „vertrauten geometrischen Figuren“ kann man als (verallgemeinerte) Quader in oder in auffassen?


Aufgabe

Es seien  und zwei Mengen und sei eine Teilmenge. Zu sei . Zeige, dass die Faser der Hintereinanderschaltung

über ist.


Aufgabe

Es seien  und zwei Messräume, die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von seien mit der durch induzierten -Algebra versehen. Es sei . Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist eine messbare Teilmenge von .
  2. Es gibt ein derart, dass messbar ist.
  3. Für alle ist messbar.
  4. Es gibt ein derart, dass messbar in ist.
  5. Für alle ist messbar in .


Aufgabe

Es sei ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

eine messbare Teilmenge im Produktraum ist.


Aufgabe

Es seien Messräume und es seien und messbare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

messbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Präring auf , der die Intervalle , , enthalte, und es sei ein äußeres Maß darauf, das auf diesen Intervallen den Wert besitze. Zeige, dass die Fortsetzung dieses äußeren Maßes auf allen abzählbaren Teilmengen von den Wert besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Urbild der Einheitskreisscheibe unter den Inklusionsabbildungen


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien Mengen mit darauf erklärten -Algebren. Zeige, dass die Produkt--Algebra die kleinste -Algebra auf ist, für die alle Projektionen messbar sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und zwei topologische Räume mit abzählbarer Topologie und mit den zugehörigen -Algebren der Borelmengen und . Zeige, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem Produktraum mit dem Produkt von und übereinstimmt.



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