Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 64

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Es ist eine naheliegende Idee, den Flächeninhalt einer beliebigen Teilmenge als das Infimum über alle Summen von Rechtecksinhalten anzusetzen, die die Menge überdecken (oder überpflastern). So geht man auch beim Riemannschen Integral vor, wenn man Oberintegrale betrachtet. Mit diesem Ansatz kann man zwar jeder Teilmenge eine Zahl zuordnen, dies ist aber kein Maß. Wichtig sind vielmehr diejenigen Teilmengen, auf denen diese Festlegung zu einem Maß führt.



Fortsetzung von äußeren Maßen
Constantin Carathéodory (1873-1950). Auf ihn geht der Fortsetzungssatz für Maße zurück.

Definition  

Es sei eine Menge und ein Präring auf . Dann heißt eine Abbildung

ein äußeres Maß auf , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Für je zwei Mengen  mit gilt .
  2. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus , für die ebenfalls zu gehört, gilt

Die sogenannte -Subadditivitätseigenschaft, die für ein äußeres Maß für disjunkte Vereinigungen gefordert wird, gilt auch für beliebige abzählbare Vereinigungen, siehe Aufgabe 64.1.


Definition  

Es sei eine Menge, ein Präring auf und

ein äußeres Maß auf . Für eine beliebige Teilmenge definiert man

und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes .

Bei dieser Definition nimmt man also das Infimum über alle Überpflasterungen.



Lemma  

Es sei eine Menge, ein Präring auf und

ein äußeres Maß auf .

Dann ist die Fortsetzung des äußeren Maßes ein äußeres Maß auf der Potenzmenge , das auf mit übereinstimmt.

Beweis  

Sei . Das Mengensystem ist natürlich eine Überpflasterung von , so dass in der Menge vorkommt, über die das Infimum genommen wird. Für jede Überpflasterung , , von gilt und somit

so dass gilt.
Für beliebige Teilmengen gilt trivialerweise , da eine Überpflasterung von insbesondere eine Überpflasterung von ist.
Sei nun , , eine abzählbare Familie von Teilmengen von . Wir müssen nachweisen. Wenn der rechte Ausdruck gleich ist, so ist nichts zu zeigen. Wir können also voraussetzen, dass die rechte Familie summierbar ist. Die Summanden dieser Familie sind jeweils das Infimum über Summen, die jeweils zu Überpflasterungen gehören.  Nehmen wir an, dass die linke Seite größer als die rechte Seite sei, wobei die Differenz größer als sei. Sei , , so gewählt, dass ist; eine solche Familie gibt es aufgrund der Abzählbarkeit von , siehe Aufgabe 9.12. Zu jedem gibt es eine Überpflasterung mit einer abzählbaren Indexmenge , mit und mit

Die Menge ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar. Wir betrachten nun die durch , , (mit ) gegebene Überpflasterung von . Damit gelten unter Verwendung des großen Umordnungssatzes die Abschätzungen

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} \tilde{\mu} { \left( \bigcup_{i \in I} T_i \right) } & \leq \sum_{\ell \in L} \mu { \left( T_{\ell} \right) } \\ & = \sum_{i \in I} { \left( \sum_{j \in J_i} \mu {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex |#default={ \left(\right) } }} \right) } \\ & \leq \sum_{i \in I} { \left( \tilde{\mu} (T_i)+ \epsilon_i \right) } \\ & = \sum_{i \in I} \tilde{\mu} (T_i) + \sum_{i \in I} \epsilon_i \\ & \leq \sum_{i \in I} \tilde{\mu} (T_i) + \epsilon , \end{align} }   

ein Widerspruch.


Es ist keineswegs so, dass die Fortsetzung eines Prämaßes auf der Potenzmenge ein Maß liefert. Dies gilt allerdings auf der erzeugten -Algebra, was wir im Folgenden nach einigen Vorbereitungen beweisen werden. Zunächst führen wir den folgenden technischen Hilfsbegriff ein.


Definition  

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Man sagt, dass eine Teilmenge die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle die Gleichheit gilt.

Eine Teilmenge besitzt also die Zerlegungseigenschaft, wenn man für jede Menge die Berechnung ihres äußeren Maßes auf die durch gegebene Zerlegung von zurückführen kann. Die schwächere Eigenschaft gilt für jede Teilmenge , siehe Aufgabe 64.3.



Lemma  

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Das Mengensystem aller Teilmengen , die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine -Algebra.
  2. Die Einschränkung von auf diese -Algebra ist ein Maß.

Beweis  

(1). Sei

Offensichtlich gehört zu und dieses System ist abgeschlossen unter Komplementbildung.   Bevor wir zeigen können, dass unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist, zeigen wir, dass dies für endliche Vereinigungen gilt. Seien also und aus und sei eine beliebige Teilmenge. Dann ist

  

Damit ist auch unter endlichen Durchschnitten abgeschlossen und somit liegt insgesamt eine Mengen-Algebra vor.
Sei nun , , eine abzählbare Familie aus . Wir wissen, dass die Teilmengen zu gehören. Deren Vereinigung ist gleich der Vereinigung der , so dass wir annehmen können, dass die paarweise disjunkt sind. Wegen der Disjunktheit ergibt sich induktiv für eine beliebige Teilmenge

Daraus ergibt sich unter Verwendung der Zerlegungseigenschaft von und der Monotonie des äußeren Maßes die Abschätzung

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} \tilde{\mu} (S) & = \tilde{\mu} (S \cap (Z_1 \cup \ldots \cup Z_n )) + \tilde{\mu} (S \cap (M \setminus (Z_1 \cup \ldots \cup Z_n )) ) \\ & \geq \tilde{\mu} (S \cap Z_1 ) + \tilde{\mu} (S \cap Z_2 ) + \cdots + \tilde{\mu} (S \cap Z_n ) + \tilde{\mu} { \left( S \cap { \left( M \setminus {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex |#default={ \left(\right) } }} \right) } \right) } . \end{align} }

Da dies für alle gilt, und da ein äußeres Maß vorliegt, folgt

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} \tilde{\mu} (S) & \geq \sum_{n \in \N_+} \tilde{\mu} (S \cap Z_n) + \tilde{\mu} { \left( S \cap { \left( M \setminus { \left(\right) } \right) } \right) } \\ & \geq \tilde{\mu} ( S \cap \bigcup _{n \in \N_+} Z_n) + \tilde{\mu} { \left( S \cap { \left( M \setminus {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex |#default={ \left(\right) } }} \right) } \right) } . \end{align} }

Da die umgekehrte Abschätzung sowieso gilt, haben wir die gewünschte Gleichheit.
(2). Für paarweise disjunkte Mengen , , aus ist, wie unter (1) bewiesen,

Da dies für alle gilt, folgt

Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.




Lemma  

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein Prämaß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge .

Dann besitzen alle Mengen aus die Zerlegungseigenschaft.

Beweis  

Es sei und . Es sei , , eine abzählbare Überpflasterung von mit Mengen aus . Die Durchschnitte , , bzw. , , sind Überpflasterungen von bzw. von . Für jedes gilt , da ein Prämaß vorliegt. Daher ist

Da dies für alle Überpflasterungen gilt, folgt

Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.



Existenzsätze für Maße



Satz  

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein Prämaß auf und die Fortsetzung von auf die von erzeugte -Algebra .

Dann ist ein Maß auf .

Wenn -endlich ist, so ist die einzige Fortsetzung von zu einem Maß auf .

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 64.5 und Lemma 64.6. Der Zusatz ergibt sich aus Satz 63.7.




Produkt-Messräume

In den nächsten Vorlesungen wollen wir Produkte von Maßräumen definieren und insbesondere auf dem ein Maß definieren.


Definition  

Es seien Mengen mit darauf erklärten -Algebren. Dann nennt man die von allen Quadern

auf erzeugte -Algebra die Produkt--Algebra der , . Sie wird mit bezeichnet.



Lemma  

Es seien und Messräume und es sei die Produktmenge mit der Produkt--Algebra.

Dann sind die Projektionen

messbar.

Beweis  

Dies folgt direkt daraus, dass zu einer messbaren Teilmenge die Urbildmenge

ein Quader ist und daher nach Definition zu gehört.

Diese Aussage gilt natürlich auch für beliebige endliche Produkte. Man kann den Beweis von solchen Aussagen sehr häufig durch eine einfache Induktion auf den Fall von zwei Faktoren zurückführen, so dass wir uns zumeist auf diesen Fall beschränken werden.



Lemma  

Es seien und zwei Messräume und eine messbare Teilmenge des Produktes .

Dann sind für jedes und jedes die Mengen

messbar in bzw. in .

Beweis  

Wir zeigen, dass für jedes die Inklusionsabbildung

messbar ist. Dazu genügt es nach Lemma 61.15, die Urbilder von messbaren Mengen der Form zu betrachten. Für eine solche Menge gilt

und dies ist leer, falls und gleich , falls . So oder so ist sie also eine messbare Teilmenge.
Für eine beliebige Teilmenge ist daher

messbar.



Lemma

Es seien Messräume und es seien und messbare Abbildungen.

Dann ist auch die Abbildung

messbar.

Beweis

Siehe Aufgabe 64.9.



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