Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 65

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten die beiden Rechtecke

im . Schreibe den Durchschnitt und die Differenzmengen als disjunkte Vereinigung von Rechtecken. Schreibe die Vereinigung der beiden Mengen auf mehrere Arten als disjunkte Vereinigung von Rechtecken. Welche Darstellung ist eine Verfeinerung einer anderen Darstellung? Wie sieht ein „Raster“ aus, mit dem man alle beteiligten Mengen ausdrücken kann? Bestätige, dass die Summe der beteiligten Rechteckinhalte stets gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass das durch die drei Punkte und gegebene abgeschlossene Dreieck nicht zum Produktpräring von und gehört.


Aufgabe

Es seien und Messräume und es sei das in konzentrierte Dirac-Maß auf und das in konzentrierte Dirac-Maß auf . Zeige, dass das in konzentrierte Dirac-Maß auf ist.


Aufgabe *

Es seien und zwei abzählbare Mengen, die beide mit der -Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt bzw. ) versehen seien.

a) Zeige, dass und -endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß auf ebenfalls das Zählmaß ist.


Aufgabe

Es seien und Messräume und es sei das zur Belegungsfunktion

gehörige Maß auf und das zur Belegungsfunktion

gehörige Maß auf (diese Maße seien als -endlich angenommen). Zeige, dass das zur Belegungsfunktion

gehörige Maß auf ist.


Aufgabe

Es seien und zwei -endliche Maßräume, es seien und zwei Messräume und es seien

und

zwei messbare Abbildungen, unter denen die Bildmaße und -endlich seien. Zeige, dass für das Bildmaß unter der Produktabbildung die Gleichung

gilt.


Aufgabe

Es seien und endliche Maßräume und ihr Produktmaßraum. Zeige, dass das Bildmaß von unter der Projektion

gleich (dem unskalierten Maß) ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für endliche Maßräume und einem Maß auf , das nicht das Produktmaß ist, das aber

und

für alle messbaren Teilmengen und erfüllt.


Aufgabe *

Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke

(mit und ) überdecken lässt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die offene Einheitskreisscheibe nicht zum Produktpräring von und gehört.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei die Vereinigung der drei Quader

im . Bestimme

für jedes und

für jedes (dabei ist einfach die Summe der Länge der disjunkten Intervalle, aus denen sich zusammensetzt).


Einen Maßraum mit dem Gesamtmaß nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum. Für die Wahrscheinlichkeitstheorie ist das folgende Konzept enorm wichtig.

Es sei ein Wahrscheinlichkeitsraum. Man nennt zwei -Algebren unabhängig, wenn für jedes und jedes die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und zwei Wahrscheinlichkeitsräume und ihr Produktraum. Zeige, dass die „Zylinderalgebren“

unabhängig sind.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (8 Punkte)

Man schreibe eine Animation, die die Unabhängigkeit des Maßes von der Quaderzerlegung im Beweis zu Lemma 65.3 (1) am Beispiel des deutlich macht. Insbesondere soll die Einführung eines Rasters und der Begriff der Verfeinerung sichtbar werden.



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