Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 88/latex

\setcounter{section}{88}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {berandete Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{\partial M}{} sei der Rand. Zeige, dass der \definitionsverweis {topologische Rand}{}{} von
\mathl{M \setminus \partial M}{} gleich $\partial M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Träger}{}{} der folgenden Funktionen von $\R$ nach $\R$. \aufzaehlungsieben{Eine Polynomfunktion. }{Die Sinusfunktion. }{Die Exponentialfunktion. }{Die Indikatorfunktion $e_{ \Z }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ \Q }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ [a,b] }$. }{Die Indikatorfunktion $e_{ ]a,b[ }$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {X} {\R } {} eine Funktion auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$. Es gebe eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die den \definitionsverweis {Träger}{}{} von $f$ umfasse. Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, wenn die Einschränkung
\mathl{f {{|}}_U}{} stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass der \definitionsverweis {Abschluss}{}{} von $T$ gleich dem \definitionsverweis {Träger}{}{} der \definitionsverweis {Indikatorfunktion}{}{}
\mathl{e_{ T }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} für die \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} für den $\R^d$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Bestimme zur Überdeckung von $X$ durch $X$ eine \definitionsverweis {untergeordnete Partition der Eins}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.} Wir betrachten die Familie der \definitionsverweis {Indikatorfunktionen}{}{}
\mathbeddisp {e_{ P }} {}
{P \in X} {}
{} {} {} {.} Welche Eigenschaften einer \zusatzklammer {dieser Überdeckung} {} {} \definitionsverweis {untergeordneten Partition der Eins}{}{} erfüllt diese Familie?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
\mathbed {A_n= [-n,n]} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} und die offene Überdeckung
\mathbed {W_n= A_{n+1}^{o} \setminus A_{n-1}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} \zusatzklammer {es sei
\mathl{A_{-1}= \emptyset}{}} {} {.} Finde eine Überdeckung von $\R$ mit \definitionsverweis {offenen Intervallen}{}{,} die die Eigenschaften aus Lemma 88.9 \zusatzklammer {und seinem Beweis} {} {} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man konstruiere eine Folge von \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{} \maabbdisp {f_n} {[0,1]} {[0,1] } {} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die eine \definitionsverweis {Partition der Eins}{}{} bilden und die Eigenschaft erfüllen, dass $0$ zum \definitionsverweis {Träger}{}{} einer jeden Funktion $f_n$ gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} im \definitionsverweis {Halbraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subset }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbdisp {f} {V} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass es eine offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{V} }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} \maabbdisp {\tilde{f}} {\tilde{V}} { \R } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{V} \cap H }
{ = }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{f} {{|}}_{\tilde{V} } }
{ = }{f }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} mit \definitionsverweis {kompaktem Träger}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_\R f' d \lambda^1 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} mit \definitionsverweis {kompaktem Träger}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$ ebenfalls kompakten Träger hat, und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{\R_{\geq 0} } f' d \lambda^1 }
{ = }{ f(0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Zeige, dass diese Aussage nicht gelten muss, wenn $f$ keinen kompakten Träger besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathbed {A_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} eines \definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{} $X$. Zeige, dass die Beziehung
\mathdisp {A_{n+1} \setminus A_n^{o} \subseteq A_{n+2}^{o} \setminus A_{n-1}} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe zur \definitionsverweis {offenen Überdeckung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R }
{ =} { \bigcup_{n \in \Z} ]n,n+3[ }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine untergeordnete stetige \definitionsverweis {Partition der Eins}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
\mathbeddisp {A_n = B \left( 0,n \right)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} des $\R^2$ und die \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mathbeddisp {W_n= A_{n+1}^{o} \setminus A_{n-1}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} \zusatzklammer {es sei
\mathl{A_{-1}= \emptyset}{}} {} {.} Finde eine Überdeckung des $\R^2$ mit \definitionsverweis {offenen Kreisscheiben}{}{,} die die Eigenschaften aus Lemma 88.9 \zusatzklammer {und seinem Beweis} {} {} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{,} der keine \definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{} besitzt.

}
{} {}