Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 89

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Diskutiere die Newton-Leibniz-Formel als einen Spezialfall des Satzes von Stokes.


Aufgabe

Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes direkt für einen Quader und eine -Differentialform der Gestalt


Aufgabe

Es sei eine -dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Topologie und es sei eine stetig differenzierbare geschlossene -Differentialform auf mit kompaktem Träger. Zeige


Aufgabe

Es sei eine kompakte -dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Topologie und es sei eine stetig differenzierbare -Differentialform auf . Zeige

Was bedeutet diese Aussage für ? Wie kann man diese Aussage in diesem Fall über ein Wegintegral beweisen?

Aufgabe

Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Topologie und es sei eine positive Volumenform auf . Zeige, dass nicht exakt ist.

Wie sieht dies ohne die Kompaktheitsvoraussetzung aus?

Aufgabe *

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine exakte Differentialform auf . Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Topologie und es sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige


Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung ()

Es sei die kanonische Volumenform auf . Zeige, dass auf eine geschlossene, aber keine exakte -Differentialform ist.


Aufgabe

Es sei mit dem Rand . Wir betrachten die beiden stetig differenzierbaren -Differentialformen

auf . Zeige, dass die Einschränkungen der beiden Formen auf den Rand übereinstimmen und insbesondere gilt. Vergleiche und .


Aufgabe

Man mache sich klar, dass der Satz von Green nicht behauptet, dass der Flächeninhalt eines umrandeten Gebiets im nur von der Länge des Randes abhängt.


Aufgabe

Es sei das durch und gegebene Dreieck und eine -Differentialform auf . Finde eine Stammform für und berechne damit durch ein Integral über dem Dreiecksrand.


Aufgabe

Bestätige den Satz von Green für das Einheitsquadrat und die Differentialformen

mit durch explizite Berechnungen.


Aufgabe

Bestätige den Satz von Green durch explizite Berechnungen für die Menge (also das zentrierte Quadrat der Seitenlänge ohne den offenen Einheitskreis) und die Differentialform .


Aufgabe *

Beweise den Satz von Green für ein Dreieck mit den Eckpunkten und für die Differentialform .


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Wir fassen den Subgraphen als eine Mannigfaltigkeit mit Rand auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Berechne den Flächeninhalt des Subgraphen mit den beiden Differentialformen und über den Rand.


Aufgabe

Bestimme das Volumen der abgeschlossenen Einheitskugel durch ein geeignetes Flächenintegral über die Einheitssphäre .


Aufgabe *

Wir betrachten die -Differentialform

auf der Einheitskugel .

a) Zeige, dass das Dreifache der Standardvolumenform auf der Kugel ist.

b) Zeige, dass die Standardflächenform auf der Einheitssphäre ist.

c) Berechne die Kugeloberfläche aus dem Kugelvolumen mit dem Satz von Stokes.


Aufgabe *

Es sei eine stetig differenzierbare -Differentialform auf einer offenen Menge und sei die äußere Ableitung gleich

mit einer Funktion . Zeige für die Gleichheit

wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.


Für einen Spezialfall der vorstehenden Aussage siehe Aufgabe 58.18.

Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem nichtleeren Rand. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung gibt.


Aufgabe

Es sei () ein Halbraum. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

gibt, deren Einschränkung auf die Identität ist.

Wie sieht das bei aus?

Aufgabe

Zeige, dass es auf einem Annulus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die im Beweis zum Brouwerschen Fixpunktsatz verwendete Abbildung

(mit ) die Einheitskugel auf die Einheitssphäre abbildet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei das durch und gegebene Dreieck und eine -Differentialform auf . Finde eine Stammform für und berechne damit durch ein Integral über dem Dreiecksrand.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten den Würfel

und die -Differentialform

Berechne und die beiden Integrale und (getrennt voneinander).


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe über ein geeignetes Wegintegral.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es auf einem Torus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und der obere Kreishalbbogen. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung

gibt, deren Einschränkung auf die Identität ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien mit und . Zeige, dass es ein mit gibt.



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