Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 63/latex
\setcounter{section}{63}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {SquareLattice.svg} }
\end{center}
\bildtext {Ein Gittermaß weist nur den Gitterpunkten ein positives Maß zu. Wenn der Gitterabstand hinreichend klein ist, liefert das Gittermaß eine gute Approximation für den Inhalt für Figuren, die nicht allzu kompliziert sind.} }
\bildlizenz { SquareLattice.svg } {} {Jim.belk} {Commons} {PD} {}
\zwischenueberschrift{Gittermaße}
Als weiteres diskretes Maß besprechen wir Gittermaße.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma_\epsilon
}
{ =} { { \left\{ \epsilon (a_1 , \ldots ,a_n) \mid a_i \in \Z \right\} }
}
{ \subseteq} { \R^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man das \definitionswort {Gitter}{} zum Gitterpunktabstand $\epsilon$. Das durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_\epsilon (T)
}
{ =} { \epsilon^n \cdot { \# \left( T \cap \Gamma_\epsilon \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte Maß heißt das \definitionswort {Gittermaß}{} zum Gitterabstand $\epsilon$.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Georges_Seurat_-_Un_dimanche_apres-midi_a_lile_de_la_Grande-Jatte.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Pointillismus: Der Flächeninhalt
\zusatzklammer {auf dem Bild} {} {}
der hellgrünen Rasenfläche entspricht in etwa der Anzahl der hellgrünen Farbtupfer, der Anzahl der hellgrünen Pixels und der Anzahl der hellgrünen Synapsen.} }
\bildlizenz { Georges Seurat - Un dimanche après-midi à l'île de la Grande Jatte.jpg } {Georges Seurat} {Oxag} {Commons} {PD} {}
\zwischenueberschrift{Ausschöpfungseigenschaften}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und sei
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Folge von Teilmengen in $M$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_n
}
{ \subseteq }{ T_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \bigcup_{n \in \N} T_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann sagt man, dass diese Folge eine \definitionswort {Ausschöpfung}{} von $T$ bildet
\zusatzklammer {oder $T$ ausschöpft} {} {,}
und schreibt dafür
\mathl{T_n \uparrow T}{.}
}
Der $\R^k$ wird beispielsweise durch die Bälle
\mathl{B \left( 0,n \right)}{} oder die Würfel
\mathl{[-n,n]^k}{} ausgeschöpft.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und sei
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Folge von Teilmengen in $M$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_n
}
{ \supseteq }{ T_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \bigcap_{n \in \N} T_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann sagt man, dass diese Folge eine \definitionswort {Schrumpfung}{} von $T$ bildet
\zusatzklammer {oder gegen $T$ schrumpft} {} {,}
und schreibt dafür
\mathl{T_n \downarrow T}{.}
} Beispielsweise ist eine reelle \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} eine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht.
Bei einer $\sigma$-Algebra ${\mathcal A }$ gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen $T_n$ auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu ${\mathcal A }$. Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören.
Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen.
\inputfaktbeweis
{Prämaß/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal P }$ ein
\definitionsverweis {Präring}{}{}
auf $M$ und $\mu$ ein
\definitionsverweis {Prämaß}{}{}
auf ${\mathcal P }$.}
\faktfolgerung {Dann gelten folgende Aussagen.
\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(\emptyset)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ {\mathcal P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ = }{ \mu(S) + \mu(T \setminus S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist ein Prämaß
\definitionsverweis {monoton}{}{.}
}{Für Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ {\mathcal P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T \cup S)
}
{ = }{ \mu(S) + \mu(T) - \mu(S \cap T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Seien
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
und $T$ aus ${\mathcal P }$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \bigcup_{n \in \N} T_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}\zusatzfussnote {Man sagt, dass die
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionswortenp{Überpflasterung}{} von $T$ bilden} {.} {}
Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ \leq} { \sum_{n \in \N} \mu(T_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mathl{T_n \uparrow T}{} eine
\definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{}
in ${\mathcal P }$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(T_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei diese Folge
\definitionsverweis {monoton wachsend}{}{}
ist.
}{Es sei
\mathl{T_n \downarrow T}{} eine
\definitionsverweis {Schrumpfung}{}{}
in ${\mathcal P }$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T_0)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorausgesetzt. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(T_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei diese Folge
\definitionsverweis {monoton fallend}{}{}
ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) ist in der Definition von
\definitionsverweis {Prämaß}{}{}
enthalten, da die leere Summe als $0$ definiert ist\zusatzfussnote {Man kann auch, sobald es eine messbare Menge $T$ mit endlichem Maß gibt, mittels
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ = }{ \mu(T \cup \emptyset)
}
{ = }{ \mu(T) + \mu(\emptyset)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
argumentieren, woraus aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(\emptyset)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
folgt} {.} {.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt direkt aus der Definition, da $T$ die
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
aus
\mathkor {} {S} {und} {T \setminus S} {}
ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt daraus, dass
\mathl{S \cup T}{} die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen
$S \setminus T,\, T \setminus S$ und $S \cap T$
ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_n
}
{ = }{ T_n \setminus { \left( \bigcup_{i = 0}^{n-1} T_i \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt offensichtlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigcup_{i = 0}^n T_i
}
{ = }{ \bigcup_{i = 0}^n S_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$, wobei die Vereinigungen der $S_i$ jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \mu(T)
}
{ =} { \mu { \left( T \cap { \left( \bigcup_{n \in \N} T_n \right) } \right) }
}
{ =} { \mu { \left( T \cap { \left( \bigcup_{n \in \N} S_n \right) } \right) }
}
{ =} { \mu { \left( \bigcup_{n \in \N} T \cap S_n \right) }
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty \mu { \left( T \cap S_n \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { \sum_{n = 0}^\infty \mu { \left( S_n \right) }
}
{ \leq} { \sum_{n = 0}^\infty \mu { \left( T_n \right) }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen
\mathl{T_n}{} als disjunkte Vereinigung mittels
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_0
}
{ = }{ T_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_n
}
{ = }{ T_n \setminus T_{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_n
}
{ =} { S_0 \cup S_1 \cup \ldots \cup S_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T_n)
}
{ = }{ \sum_{i = 0} ^n \mu(S_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Entsprechend gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \bigcup_{i \in \N} S_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ =} { \mu { \left( \bigcup_{i \in \N} S_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 0} ^\infty \mu(S_i)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( \sum_{i = 0} ^n \mu(S_i) \right) }
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \mu { \left( T_n \right) }
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(6) Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_0
}
{ = }{ T_0 \setminus T_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine absteigende Folge ist, ist
\mathbed {S_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine aufsteigende Folge, und zwar gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup _{n \in \N} S_n
}
{ =} { \bigcup _{n \in \N} { \left( T_0 \setminus T_n \right) }
}
{ =} { T_0 \setminus { \left( \bigcap _{n\in \N} T_n \right) }
}
{ =} { T_0 \setminus T
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( T_0 \setminus T \right) }
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \mu { \left( T_0 \setminus T_n \right) }
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} (\mu { \left( T_0) - \mu(T_n) \right) }
}
{ =} { \mu(T_0) - \lim_{n \rightarrow \infty} \mu { \left( T_n \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach Teil (5). Somit ist
\zusatzklammer {da
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \mu(T_0)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \mu (T_n)
}
{ =} { \mu(T_0) - \mu(T_0 \setminus T )
}
{ =} { \mu(T)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal P }$ ein
\definitionsverweis {Präring}{}{}
auf $M$,
\maabbdisp {\mu} {{\mathcal P }} { \overline{\R}_{\geq 0}
} {}
ein
\definitionsverweis {Prämaß}{}{}
auf $M$. Dann heißt $\mu$ \definitionswort {endlich}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ <} {\infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Wenn die Gesamtmenge $M$ zu ${\mathcal P }$ gehört, so ergibt sich die Endlichkeit des Prämaßes sofort aus der Bedingung
\mathl{\mu(M) < \infty}{} aufgrund der Monotonie.
Für die Maßtheorie des euklidischen Raumes ist dieser Begriff zu stark, da ja der $\R^n$ kein endliches Volumen hat. Aber immerhin kann man den $\R^n$ durch die abzählbar vielen Kugeln
\mathbed {B \left( 0,k \right)} {}
{k \in \N} {}
{} {} {} {,} die selbst endliches Volumen haben, ausschöpfen. Diese Eigenschaft wird durch folgende Definition präzisiert.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal P }$ ein
\definitionsverweis {Präring}{}{}
auf $M$,
\maabbdisp {\mu} {{\mathcal P }} { \overline{\R}_{\geq 0}
} {}
ein
\definitionsverweis {Prämaß}{}{}
auf $M$. Dann heißt $\mu$ $\sigma$-\definitionswort {endlich}{,} wenn man $M$ als eine
\definitionsverweis {abzählbare Vereinigung}{}{}
von Teilmengen $M_i$ aus ${\mathcal P }$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(M_i)
}
{ <} {\infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben kann.
}
\zwischenueberschrift{Der Eindeutigkeitssatz für Maße}
Der folgende Satz ist der \stichwort {Eindeutigkeitssatz für Maße} {.} Im Wesentlichen besagt er, dass unter gewissen Bedingungen ein Maß auf einem Erzeugendensystem der $\sigma$-Algebra schon eindeutig bestimmt ist.
\inputfaktbeweis
{Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M,{\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
und es sei ${\mathcal E }$ ein
\definitionsverweis {durchschnittsstabiles Erzeugendensystem}{}{}
für ${\mathcal A }$.
Es seien
\mathkor {} {\mu_1} {und} {\mu_2} {}
zwei
\definitionsverweis {Maße}{}{}
auf
\mathl{(M, {\mathcal A })}{,} die auf ${\mathcal E }$ übereinstimmen.}
\faktvoraussetzung {Es gebe eine
\definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{}
\mathl{M_n \uparrow M}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_n
}
{ \in }{ {\mathcal E }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_1(M_n)
}
{ =} { \mu_2(M_n)
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_1
}
{ =} {\mu_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für jede
\definitionsverweis {messbare Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{(T \cap M_n) \uparrow T}{} eine
\definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{}
von $T$, sodass es nach
Lemma 63.4 (5)
genügt, die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_1(T \cap M_n)
}
{ =} {\mu_2(T \cap M_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Es sei $n$ fixiert. Wir betrachten das Mengensystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal D }_n
}
{ =} { { \left\{ T \in {\mathcal A } \mid \mu_1(T \cap M_n) = \mu_2(T \cap M_n) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wir wollen zeigen, dass dies ganz ${\mathcal A }$ ist. Da ${\mathcal E }$ durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \in }{ {\mathcal E }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu ${\mathcal D }_n$.
\teilbeweis {Wir behaupten, dass ${\mathcal D }_n$ ein
\definitionsverweis {Dynkin-System}{}{}
ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Offenbar ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{{\mathcal D }_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teilmengen, die zu ${\mathcal D }_n$ gehören. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \mu_1 { \left( (T \setminus S) \cap M_n \right) }
}
{ =} { \mu_1 { \left( { \left( T \cap M_n \right) } \setminus { \left( S \cap M_n \right) } \right) }
}
{ =} { \mu_1(T \cap M_n) - \mu_1(S \cap M_n)
}
{ =} { \mu_2(T \cap M_n) - \mu_2(S \cap M_n)
}
{ =} { \mu_2 { \left( { \left( T \cap M_n \right) } \setminus { \left( S \cap M_n \right) } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \mu_2( (T \setminus S) \cap M_n)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
sodass auch
\mathl{T \setminus S}{} zu ${\mathcal D }_n$ gehört. Es sei schließlich
\mathbed {T_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{}
\definitionsverweis {paarweise disjunkter}{}{}
Teilmengen aus ${\mathcal D }_n$, und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { \bigcup_{i \in I}T_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \mu_1 { \left( T \cap M_n \right) }
}
{ =} { \mu_1 { \left( \bigcup_{i \in I}(T_i \cap M_n) \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} \mu_1 { \left( T_i \cap M_n \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} \mu_2 { \left( T_i \cap M_n \right) }
}
{ =} { \mu_2 { \left( \bigcup_{i \in I} { \left( T_i \cap M_n \right) } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \mu_2 { \left( T \cap M_n \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
sodass auch $T$ zu ${\mathcal D }_n$ gehört.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Damit ist ${\mathcal D }_n$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem ${\mathcal E }$ enthält. Nach
Lemma 61.13
ist daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal A }
}
{ \subseteq }{ {\mathcal D }_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und es gilt Gleichheit.}
{}
\zwischenueberschrift{Bildmaße}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,}
\mathl{(N, {\mathcal B })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{.}
Dann nennt man das durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu(T)
}
{ \defeq} {\mu (\varphi^{-1} (T))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Maß}{}{}
auf $N$ das \definitionswort {Bildmaß}{} von $\mu$ unter $\varphi$. Es wird mit
\mathl{\varphi_*\mu}{} bezeichnet.
}
Das Bildmaß ist in der Tat ein Maß, siehe Aufgabe 63.11.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Benfords law illustrated by world's countries population.png} }
\end{center}
\bildtext {Die Verteilung der Anfangsziffern der Bevölkerungsgröße der Länder der Erde.} }
\bildlizenz { Benfords law illustrated by world's countries population.png } {} {Jakob.scholbach} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R} { \R_+
} {x} {10^x
} {,}
die Exponentialfunktion zur Basis $10$ und $\nu$ das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
zum eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maß $\lambda^1$
\zusatzklammer {das wir zwar noch nicht eingeführt haben, von dem wir hier aber nur verwenden, dass es einem Intervall die Intervallänge zuordnet} {} {.} Für ein Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ \subseteq }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu ([a,b])
}
{ =} { \lambda^1( \varphi^{-1} ([a,b]))
}
{ =} { \lambda^1 ( [\operatorname{ log}_{ 10 } ^{ } { \left( a \right) } , \operatorname{ log}_{ 10 } ^{ } { \left( b \right) }])
}
{ =} { \operatorname{ log}_{ 10 } ^{ } { \left( b \right) } - \operatorname{ log}_{ 10 } ^{ } { \left( a \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere haben die Intervalle
\mathdisp {\ldots ,[{ \frac{ 1 }{ 100 } }, { \frac{ 1 }{ 10 } } ] ,\, [ { \frac{ 1 }{ 10 } }, 1] ,\, [1,10] ,\, [10,100] ,\, [100,1000] , \ldots} { }
unter $\nu$ alle das Maß $1$. Das Maß $\nu$ ist also \anfuehrung{unter Berücksichtigung der Größenordnung gleichverteilt}{.}
Wenn man zur Menge aller Städte
\zusatzklammer {auf der Erde oder in Deutschland} {} {}
die Einwohnerzahl nimmt und davon die erste Ziffer, so kann man beobachten, dass die Ziffer $1$ deutlich häufiger vorkommt als die Ziffern $2,3, \ldots$. Beispielsweise gibt es in Deutschland relativ viele Städte mit zwischen
\mathl{100 000}{} und
\mathl{200 000}{} Einwohnern, aber keine mit zwischen
\mathl{800 000}{} und
\mathl{900 000}{} Einwohnern. Diese Beobachtung kann man in sehr vielen verschiedenen Situationen machen, und zwar genügt die erste Ziffer dem sogenannnten \stichwort {Benfordschen Gesetz} {.} Wenn man davon ausgeht, dass Städte zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet werden, dass sie exponentiell wachsen
\zusatzklammer {mit einer kleinen Basis} {} {,}
und dass die Verteilung der Stadtgründungen mit der Zeit gleichverteilt ist
\zusatzklammer {in einem endlichen Zeitintervall} {} {,}
so kann man die Stadtgründungen durch $\lambda^1$ modellieren und erhält für die Verteilung der Stadtgrößen das Maß $\nu$
\zusatzklammer {bis auf einen Streckungsfaktor mit der Zeit} {} {.}
Es ist dann beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu ( [1,2])
}
{ =} { \operatorname{ log}_{ 10 } ^{ } { \left( 2 \right) }
}
{ =} { 0, 301 \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu ( [8,9])
}
{ =} { \operatorname{ log}_{ 10 } ^{ } { \left( 2 \right) }
}
{ =} { 0, 051 \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und entsprechend für die Intervalle
\mathl{[10,20]}{,}
\mathl{[100,200]}{,} etc., was das Benfordsche Gesetz erklärt.
}
{Messbare Abbildung/Bildmaß/Einfache Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{(M, {\mathcal A })}{,}
\mathl{(N, {\mathcal B })}{} und
\mathl{(S, {\mathcal C })}{}
\definitionsverweis {Messräume}{}{} und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {} und \maabbdisp {\psi} {N} {S
} {}
\definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{.} Es sei $\mu$ ein
\definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die
\definitionsverweis {Bildmaße}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\psi \circ \varphi)_*\mu
}
{ =} { \psi_*( \varphi_*\mu)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 63.12. }
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
\definitionsverweis {Maßräume}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
heißt \definitionswort {maßtreu}{,} wenn für jede messbare Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu (T)
}
{ =} { \mu( \varphi^{-1} (T))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} Eine messbare Abbildung \maabb {\varphi} {(M, {\mathcal A },\mu) } {(N, {\mathcal B },\nu) } {} ist genau dann maßtreu, wenn $\nu$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\varphi$ ist.
\zwischenueberschrift{Produkt von topologischen Räumen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cylinder_(PSF).png} }
\end{center}
\bildtext {Eine Zylinderoberfläche ist der Produkt\-raum aus einer Kreislinie und einem Intervall.} }
\bildlizenz { Cylinder (PSF).png } {} {Pearson Scott Foresman} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Unter dem \definitionswort {Produkt der topologischen Räume}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
versteht man die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{X \times Y}{} zusammen mit derjenigen Topologie
\zusatzklammer {genannt \definitionswort {Produkttopologie}{}} {} {,}
bei der eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ X \times Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form
\mathl{U \times V}{} mit offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann.
}