Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 63

Ein Gittermaß weist nur den Gitterpunkten ein positives Maß zu. Wenn der Gitterabstand hinreichend klein ist, liefert das Gittermaß eine gute Approximation für den Inhalt für Figuren, die nicht allzu kompliziert sind.

Gittermaße

Als weiteres diskretes Maß besprechen wir Gittermaße.

Definition

Es sei  $ϵ>0$.  Die Menge

${\mathrm{\Gamma }}_{ϵ}=\{ϵ(a_1,\dots ,a_n)\mid a_i\in \mathbb{Z}\}\subseteq {ℝ}^n$

nennt man das Gitter zum Gitterpunktabstand $ϵ$. Das durch

${\mu }_{ϵ}(T)={ϵ}^n\cdot \mathrm{\#}(T\cap {\mathrm{\Gamma }}_{ϵ})$

für  $T\subseteq {ℝ}^n$  definierte Maß heißt das Gittermaß zum Gitterabstand $ϵ$.

Pointillismus: Der Flächeninhalt (auf dem Bild) der hellgrünen Rasenfläche entspricht in etwa der Anzahl der hellgrünen Farbtupfer, der Anzahl der hellgrünen Pixel und der Anzahl der hellgrünen Synapsen.

Ausschöpfungseigenschaften

Definition

Es sei $M$ eine Menge und sei $T_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine Folge von Teilmengen in $M$ mit  $T_n\subseteq T_{n+1}$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Es sei  $T=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{T}_n$.  Dann sagt man, dass diese Folge eine Ausschöpfung von $T$ bildet (oder $T$ ausschöpft), und schreibt dafür $T_n\uparrow T$.

Der ${ℝ}^k$ wird beispielsweise durch die Bälle $B(0,n)$ oder die Würfel $[-n,n{]}^k$ ausgeschöpft.

Definition

Es sei $M$ eine Menge und sei $T_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine Folge von Teilmengen in $M$ mit  $T_n\supseteq T_{n+1}$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Es sei  $T=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{T}_n$.  Dann sagt man, dass diese Folge eine Schrumpfung von $T$ bildet (oder gegen $T$ schrumpft), und schreibt dafür $T_n\downarrow T$.

Beispielsweise ist eine reelle Intervallschachtelung eine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht.

Bei einer $\sigma$-Algebra $𝒜$ gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen $T_n$ auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu $𝒜$. Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören.

Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen.

Lemma

Es sei $M$ eine Menge, $𝒫$ ein Präring auf $M$ und $\mu$ ein Prämaß auf $𝒫$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist  $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$. 
2. Für Mengen  $S,T\in 𝒫$  mit  $S\subseteq T$  gilt  $\mu (T)=\mu (S)+\mu (T\setminus S)$.  Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
3. Für Mengen  $S,T\in 𝒫$  gilt  $\mu (T\cup S)=\mu (S)+\mu (T)-\mu (S\cap T)$. 
4. Seien $T_n$, $n\in \mathbb{N}$, und $T$ aus $𝒫$ mit  $T\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb{N}}{T}_n$  Dann gilt

   $\mu (T)\le \sum _{n\in \mathbb{N}}\mu (T_n).$

5. Es sei $T_n\uparrow T$ eine Ausschöpfung in $𝒫$. Dann ist

   $\mu (T)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (T_n),$

   wobei diese Folge monoton wachsend ist.

6. Es sei $T_n\downarrow T$ eine Schrumpfung in $𝒫$ und sei  $\mu (T_0)<\mathrm{\infty }$  vorausgesetzt. Dann ist

   $\mu (T)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (T_n),$

   wobei diese Folge monoton fallend ist.

Beweis

(1) ist in der Definition von Prämaß enthalten, da die leere Summe als $0$ definiert ist.
(2) folgt direkt aus der Definition, da $T$ die disjunkte Vereinigung aus $S$ und $T\setminus S$ ist.
(3) folgt daraus, dass $S\cup T$ die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen $S\setminus T,T\setminus S$ und $S\cap T$ ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben  $S_n=T_n\setminus \left(\bigcup _{i=0}^{n-1}{T}_i\right)$.  Dann gilt offensichtlich  $\bigcup _{i=0}^n{T}_i=\bigcup _{i=0}^n{S}_i$  für alle $n$, wobei die Vereinigungen der $S_i$ jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt

$\begin{array}{cc}\mu (T)& =\mu (T\cap \left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{T}_n\right))\\ & =\mu (T\cap \left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{S}_n\right))\\ & =\mu (\bigcup _{n\in \mathbb{N}}T\cap S_n)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mu (T\cap S_n)\\ & \le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mu \left(S_n\right)\\ & \le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mu \left(T_n\right).\end{array}$

(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen $T_n$ als disjunkte Vereinigung mittels  $S_0=T_0$  und  $S_n=T_n\setminus T_{n-1}$.  Damit ist

$T_n=S_0\cup S_1\cup \dots \cup S_n,$

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt  $\mu (T_n)=\sum _{i=0}^n\mu (S_i)$.  Entsprechend gilt

$T=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{S}_i$

und daher

$\mu (T)=\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{S}_i\right)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\mu (S_i)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{i=0}^n\mu (S_i))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu \left(T_n\right).$

(6) Wir setzen  $S_0=T_0\setminus T_n$.  Da $T_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine absteigende Folge ist, ist $S_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine aufsteigende Folge, und zwar gilt

$\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{S}_n=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}(T_0\setminus T_n)=T_0\setminus \left(\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{T}_n\right)=T_0\setminus T.$

Daher gilt

$\mu (T_0\setminus T)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (T_0\setminus T_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mu (T_0)-\mu (T_n))=\mu (T_0)-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu \left(T_n\right)$

nach Teil (5). Somit ist (da $\mu (T_0)<\mathrm{\infty }$ ist)

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (T_n)=\mu (T_0)-\mu (T_0\setminus T)=\mu (T).$

$◻$

Definition

Es sei $M$ eine Menge, $𝒫$ ein Präring auf $M$,

$\mu :𝒫⟶{\overline{ℝ}}_{\ge 0}$

ein Prämaß auf $M$. Dann heißt $\mu$ endlich, wenn

$\mu (T)<\mathrm{\infty }$

für alle  $T\in 𝒫$  ist.

Wenn die Gesamtmenge $M$ zu $𝒫$ gehört, so ergibt sich die Endlichkeit des Prämaßes sofort aus der Bedingung $\mu (M)<\mathrm{\infty }$ aufgrund der Monotonie.

Für die Maßtheorie des euklidischen Raumes ist dieser Begriff zu stark, da ja der ${ℝ}^n$ kein endliches Volumen hat. Aber immerhin kann man den ${ℝ}^n$ durch die abzählbar vielen Kugeln $B(0,k)$, $k\in \mathbb{N}$, die selbst endliches Volumen haben, ausschöpfen. Diese Eigenschaft wird durch folgende Definition präzisiert.

Definition

Es sei $M$ eine Menge, $𝒫$ ein Präring auf $M$,

$\mu :𝒫⟶{\overline{ℝ}}_{\ge 0}$

ein Prämaß auf $M$. Dann heißt $\mu$ $\sigma$-endlich, wenn man $M$ als eine abzählbare Vereinigung von Teilmengen $M_i$ aus $𝒫$ mit

$\mu (M_i)<\mathrm{\infty }$

schreiben kann.

Der Eindeutigkeitssatz für Maße

Der folgende Satz ist der Eindeutigkeitssatz für Maße. Im Wesentlichen besagt er, dass unter gewissen Bedingungen ein Maß auf einem Erzeugendensystem der $\sigma$-Algebra schon eindeutig bestimmt ist.

Satz

Es sei $(M,𝒜)$ ein Messraum und es sei $ℰ$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für $𝒜$. Es seien ${\mu }_1$ und ${\mu }_2$ zwei Maße auf $(M,𝒜)$, die auf $ℰ$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung $M_n\uparrow M$ mit  $M_n\in ℰ$  und mit

${\mu }_1(M_n)={\mu }_2(M_n)<\mathrm{\infty }.$

Dann ist

${\mu }_1={\mu }_2.$

Beweis

Für jede messbare Menge  $T\in 𝒜$  ist $(T\cap M_n)\uparrow T$ eine Ausschöpfung von $T$, sodass es nach Lemma 63.4  (5) genügt, die Gleichheit

${\mu }_1(T\cap M_n)={\mu }_2(T\cap M_n)$

für alle  $T\in 𝒜$  und alle  $n\in \mathbb{N}$  zu zeigen. Es sei $n$ fixiert. Wir betrachten das Mengensystem

${𝒟}_n=\{T\in 𝒜\mid {\mu }_1(T\cap M_n)={\mu }_2(T\cap M_n)\}$

und wir wollen zeigen, dass dies ganz $𝒜$ ist. Da $ℰ$ durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge  $E\in ℰ$  zu ${𝒟}_n$. Wir behaupten, dass ${𝒟}_n$ ein Dynkin-System ist. Offenbar ist  $M\in {𝒟}_n$.  Seien  $S\subseteq T$  Teilmengen, die zu ${𝒟}_n$ gehören. Dann ist

$\begin{array}{cc}{\mu }_1((T\setminus S)\cap M_n)& ={\mu }_1((T\cap M_n)\setminus (S\cap M_n))\\ & ={\mu }_1(T\cap M_n)-{\mu }_1(S\cap M_n)\\ & ={\mu }_2(T\cap M_n)-{\mu }_2(S\cap M_n)\\ & ={\mu }_2((T\cap M_n)\setminus (S\cap M_n))\\ & ={\mu }_2((T\setminus S)\cap M_n),\end{array}$

sodass auch $T\setminus S$ zu ${𝒟}_n$ gehört. Es sei schließlich $T_i$, $i\in I$, eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Teilmengen aus ${𝒟}_n$, und sei

$T=\bigcup _{i\in I}{T}_i.$

Dann ist

$\begin{array}{cc}{\mu }_1(T\cap M_n)& ={\mu }_1(\bigcup _{i\in I}(T_i\cap M_n))\\ & =\sum _{i\in I}{\mu }_1(T_i\cap M_n)\\ & =\sum _{i\in I}{\mu }_2(T_i\cap M_n)\\ & ={\mu }_2\left(\bigcup _{i\in I}(T_i\cap M_n)\right)\\ & ={\mu }_2(T\cap M_n),\end{array}$

sodass auch $T$ zu ${𝒟}_n$ gehört.
Damit ist ${𝒟}_n$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem $ℰ$ enthält. Nach Lemma 61.13 ist daher  $𝒜\subseteq {𝒟}_n$,  und es gilt Gleichheit.

$◻$

Bildmaße

Definition

Es sei $(M,𝒜,\mu )$ ein Maßraum, $(N,ℬ)$ ein Messraum und

$\phi :M⟶N$

eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch

$\nu (T):=\mu ({\phi }^{-1}(T))$

definierte Maß auf $N$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\phi$. Es wird mit ${\phi }_{\ast }\mu$ bezeichnet.

Das Bildmaß ist in der Tat ein Maß, siehe Aufgabe 63.11.

Die Verteilung der Anfangsziffern der Bevölkerungsgröße der Länder der Erde.

Beispiel

Es sei

$\phi :ℝ⟶{ℝ}_{+},x⟼10^x,$

die Exponentialfunktion zur Basis $10$ und $\nu$ das Bildmaß zum eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${\lambda }^1$  (das wir zwar noch nicht eingeführt haben, von dem wir hier aber nur verwenden, dass es einem Intervall die Intervallänge zuordnet). Für ein Intervall  $[a,b]\subseteq {ℝ}_{+}$  ist

$\nu ([a,b])={\lambda }^1({\phi }^{-1}([a,b]))={\lambda }^1([{\log }_{10}^{}\left(a\right),{\log }_{10}^{}\left(b\right)])={\log }_{10}^{}\left(b\right)-{\log }_{10}^{}\left(a\right).$

Insbesondere haben die Intervalle

$\dots ,[\frac{1}{100},\frac{1}{10}],[\frac{1}{10},1],[1,10],[10,100],[100,1000],\dots$

unter $\nu$ alle das Maß $1$. Das Maß $\nu$ ist also „unter Berücksichtigung der Größenordnung gleichverteilt“.

Wenn man zur Menge aller Städte (auf der Erde oder in Deutschland) die Einwohnerzahl nimmt und davon die erste Ziffer, so kann man beobachten, dass die Ziffer $1$ deutlich häufiger vorkommt als die Ziffern $2,3,\dots$. Beispielsweise gibt es in Deutschland relativ viele Städte mit zwischen $100000$ und $200000$ Einwohnern, aber keine mit zwischen $800000$ und $900000$ Einwohnern. Diese Beobachtung kann man in sehr vielen verschiedenen Situationen machen, und zwar genügt die erste Ziffer dem sogenannnten Benfordschen Gesetz. Wenn man davon ausgeht, dass Städte zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet werden, dass sie exponentiell wachsen (mit einer kleinen Basis), und dass die Verteilung der Stadtgründungen mit der Zeit gleichverteilt ist (in einem endlichen Zeitintervall), so kann man die Stadtgründungen durch ${\lambda }^1$ modellieren und erhält für die Verteilung der Stadtgrößen das Maß $\nu$ (bis auf einen Streckungsfaktor mit der Zeit). Es ist dann beispielsweise

$\nu ([1,2])={\log }_{10}^{}\left(2\right)=0,301\dots$

und

$\nu ([8,9])={\log }_{10}^{}\left(2\right)=0,051\dots$

und entsprechend für die Intervalle $[10,20]$, $[100,200]$, etc., was das Benfordsche Gesetz erklärt.

Lemma

Es seien $(M,𝒜)$, $(N,ℬ)$ und $(S,𝒞)$ Messräume und

$\phi :M⟶N$

und

$\psi :N⟶S$

messbare Abbildungen. Es sei $\mu$ ein Maß auf $M$.

Dann gilt für die Bildmaße

$(\psi \circ \phi {)}_{\ast }\mu ={\psi }_{\ast }({\phi }_{\ast }\mu ).$

Beweis

Siehe Aufgabe 63.12.

$◻$

Definition

Es seien $(M,𝒜,\mu )$ und $(N,ℬ,\nu )$ Maßräume. Eine messbare Abbildung

$\phi :M⟶N$

heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge  $T\subseteq N$  die Beziehung

$\nu (T)=\mu ({\phi }^{-1}(T))$

gilt.

Eine messbare Abbildung $\phi :(M,𝒜,\mu )\to (N,ℬ,\nu )$ ist genau dann maßtreu, wenn $\nu$ das Bildmaß von $\mu$ unter $\phi$ ist.

Produkt von topologischen Räumen

Eine Zylinderoberfläche ist der Produktraum aus einer Kreislinie und einem Intervall.

Definition

Unter dem Produkt der topologischen Räume $X$ und $Y$ versteht man die Produktmenge $X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge  $W\subseteq X\times Y$  genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form $U\times V$ mit offenen Mengen  $U\subseteq X$  und  $V\subseteq Y$  schreiben kann.

Fußnoten

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