Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in den Punkten
\mathkor {} {1} {und} {3} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme direkt
\zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {}
die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {x} {f(x)=x^n } {,} für jedes $n \in \N$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+1 } {.} Bestimme die Tangenten an $f$, die lineare Funktionen sind \zusatzklammer {die also durch den Nullpunkt verlaufen} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {gerade Funktion}{}{,}
die im Punkt $x$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
sei. Zeige, dass $f$ auch im Punkt $-x$ differenzierbar ist und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(-x)
}
{ =} { -f'(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { \betrag { z } } {,} im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { \betrag { z } } {,} in keinem Punkt \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Realteil}{}{,}
also die Funktion
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } {
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
} {,}
in keinem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp x}{} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{.}
}
{} {Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zur
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp x}{} die
\definitionsverweis {lineare Approximation}{}{}
\zusatzklammer {einschließlich der Restfunktion $r(x)$} {} {}
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
eine Funktion, die $\R$ nach $\R$ abbildet. Die Funktion sei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {als komplexe Funktion} {} {}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
Zeige, dass dann auch die reelle Funktion $f {{|}}_{\R}$
\zusatzklammer {als Funktion von $\R$ nach $\R$} {} {}
differenzierbar ist
\zusatzklammer {und zwar mit der gleichen Ableitung} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^2 \right) }'
}
{ =} { 2 f \cdot f'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( (f+g)^2- (f-g)^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die \definitionsverweis {Funktionslimiten}{}{} für die \definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
ein Polynom vom Grad $d \geq 2$ und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $0$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)-t(z)
}
{ =} { z^2 g(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom
\mathl{g(z)}{} vom Grad
\mathl{d-2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
ein Polynom vom Grad $d \geq 2$,
\mathl{w \in {\mathbb C}}{} ein Punkt und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $w$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)-t(z)
}
{ =} { (z-w)^2 g(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom
\mathl{g(z)}{} vom Grad
\mathl{d-2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} {{\mathbb C} } {x} {f(x)=x^n } {,} für jedes $n \in \Z$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} {{\mathbb C} } {x} {f(x)= \frac{x^2+ 1 }{ x^3} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {g,h} {\R} {\R_+
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { { \frac{ g(x) }{ h(x)^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man die Ableitung von $f$ als einen Bruch mit
\mathl{h(x)^{n+1}}{} im Nenner schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} einer \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} wieder eine rationale Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f(x)=x^3+4x^2-1$ und $g(y) =y^2-y+2$. Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} $h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{{ \frac{ x^2-1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ = }{{ \frac{ y^2 }{ y-1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von \mathkor {} {f} {und von} {g} {.}
b) Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ = }{g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f(x)=\frac{x^2+5x-2}{x+1}$ und $g(y) = \frac{y-2}{y^2+3}$. Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} $h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x)=x^{\frac{1}{n} }
} {,}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x)=x^{q} } {,} für jedes $q \in \Q$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} $P\in {\mathbb C}[X]$ genau dann einen \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq d$ besitzt \zusatzklammer {oder $P=0$ ist} {} {,} wenn die $(d+1)$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $P$ das Nullpolynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {}
zwei
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
Funktionen und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ =} { (g(f(x)))^2 f(g(x))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Drücke die Ableitung $h'$ mit den Ableitungen von \mathkor {} {f} {und} {g} {} aus.
b) Es sei nun
\mathdisp {f(x)=x^2-1 \text{ und } g(x) =x+2} { . }
Berechne $h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die $n$-fache
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {}
\mathdisp {f^{\circ n} =f \circ f \circ \cdots \circ f \, \, \, ( n\text{ mal} )} { }
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{\circ n} \right) }'
}
{ =} { f' \cdot \prod_{i = 1}^{n-1} { \left( f' \circ f^{\circ i} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, aber nicht zweimal \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linie und Viertelkreis.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Linie und Viertelkreis.png } {MGausmann} {} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Funktion
\maabbdisp {f} {\R_{< 1} } { \R
} {}
sei für negatives $x$ konstant gleich $0$ und folge für
\mathl{x \in [0,1[}{} dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,1)}{} und Radius $1$. Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\maabbdisp {f,g} {I} {\R
} {}
zwei $n$-mal
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \cdot g)^{(n)}
}
{ =} {\sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } f^{(k)} \cdot g^{(n-k)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {{\mathbb C} } {x} {f(x)= \frac{x^2+x-1 }{ x^3-x+2} } {,}
wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
an den Graphen zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x^3-x^2-x+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die parallel zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme, ob die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \overline{ z } } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (2+2+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ x^2+5x-2 }{ x+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ { \frac{ y-2 }{ y^2+3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ \defeq }{ g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne $h$
\zusatzklammer {das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen} {} {.}
}{Berechne die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $h$ mit Hilfe von Teil 1.
}{Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der
Kettenregel.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabbdisp {f_i} {D} { {\mathbb K} , \, i = 1 , \ldots , n
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f_1 { \cdots } f_n)'
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n f_1 { \cdots } f_{i-1} f_{i}' f_{i+1} { \cdots } f_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $P\in {\mathbb C}[X]$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{,} $a \in {\mathbb C}$ und $n \in \N$. Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a)^n$ ist, wenn $a$ eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} sämtlicher \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $P,P^\prime ,P^{\prime \prime} , \ldots , P^{(n-1)}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {F} {D} {{\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.}
Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine
\zusatzklammer {höhere} {} {}
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{(n)}
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}