Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+3,

in einem beliebigen Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ .

Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+1.

Bestimme die Tangenten an ${}f$ , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).

Aufgabe

Zeige, dass der Realteil, also die Funktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(z\right)},

in keinem Punkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ differenzierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion ${}\exp x$ in jedem Punkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.

Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.

Aufgabe

Bestimme zur Exponentialfunktion ${}\exp x$ die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ${}r(x)$ ) im Nullpunkt.

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion, die ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ abbildet. Die Funktion sei in ${}a\in \mathbb {R}$ (als komplexe Funktion) differenzierbar. Zeige, dass dann auch die reelle Funktion ${}f{|}_{\mathbb {R} }$ (als Funktion von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ ) differenzierbar ist (und zwar mit der gleichen Ableitung).

Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

{}{\left(f^{2}\right)}'=2f\cdot f'\,

mit Hilfe von

{}fg={\frac {1}{4}}{\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)}\,.

Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe

Es sei

f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),

ein Polynom vom Grad ${}d\geq 2$ und ${}t(z)$ die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}0$ . Zeige die Beziehung

{}f(z)-t(z)=z^{2}g(z)\,

mit einem Polynom ${}g(z)$ vom Grad ${}d-2$ .

Aufgabe *

Es sei

f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),

ein Polynom vom Grad ${}d\geq 2$ , ${}w\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und ${}t(z)$ die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}w$ . Zeige die Beziehung

{}f(z)-t(z)=(z-w)^{2}g(z)\,

mit einem Polynom ${}g(z)$ vom Grad ${}d-2$ .

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=x^{n},

für jedes ${}n\in \mathbb {Z}$ .

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{3}}}.

Aufgabe *

Es seien

g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}

differenzierbare Funktionen und

{}f(x):={\frac {g(x)}{h(x)^{n}}}\,

mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige, dass man die Ableitung von ${}f$ als einen Bruch mit ${}h(x)^{n+1}$ im Nenner schreiben kann.

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}f(x)=x^{3}+4x^{2}-1$ und ${}g(y)=y^{2}-y+2$ . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe *

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}-1}{x}}$ und ${}g(y)={\frac {y^{2}}{y-1}}$ .

a) Bestimme die Ableitung von ${}f$ und von ${}g$ .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ .

c) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}+5x-2}{x+1}}$ und ${}g(y)={\frac {y-2}{y^{2}+3}}$ . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{\frac {1}{n}},

für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{q},

für jedes ${}q\in \mathbb {Q}$ .

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ genau dann einen Grad ${}\leq d$ besitzt (oder ${}P=0$ ist), wenn die ${}(d+1)$ -te Ableitung von ${}P$ das Nullpolynom ist.

Aufgabe *

Es seien

f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

zwei differenzierbare Funktionen und sei

{}h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x))\,.

a) Drücke die Ableitung ${}h'$ mit den Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ aus.

b) Es sei nun

f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.

Berechne ${}h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über ${}h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Aufgabe *

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die ${}n$ -fache Hintereinanderschaltung ( $n\geq 1$ )

f^{\circ n}=f\circ f\circ \cdots \circ f\,\,\,(n{\text{ mal}})

die Beziehung

{}{\left(f^{\circ n}\right)}'=f'\cdot \prod _{i=1}^{n-1}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\,

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x\vert {x}\vert ,

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.

Aufgabe

Die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{<1}\longrightarrow \mathbb {R}

sei für negatives ${}x$ konstant gleich ${}0$ und folge für ${}x\in [0,1[$ dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt ${}(0,1)$ und Radius ${}1$ . Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

zwei ${}n$ -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

{}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

f\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{x^{3}-x+2}},

wobei ${}D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion ${}f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1$ , die parallel zu ${}y=x$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\overline {z}},

differenzierbar ist oder nicht.

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}+5x-2}{x+1}}$ und ${}g(y)={\frac {y-2}{y^{2}+3}}$ und es sei ${}h(x):=g(f(x))$ die Hintereinanderschaltung.

Berechne ${}h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil 1.
Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und seien

f_{i}\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,i=1,\ldots ,n,

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

{}(f_{1}{\cdots }f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}{\cdots }f_{i-1}f_{i}'f_{i+1}{\cdots }f_{n}\,.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom, ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass ${}P$ genau dann ein Vielfaches von ${}(X-a)^{n}$ ist, wenn ${}a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ${}P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\ldots ,P^{(n-1)}$ ist.