Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 18

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion

in den Punkten und


Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).


Aufgabe

Es sei eine gerade Funktion, die im Punkt differenzierbar sei. Zeige, dass auch im Punkt differenzierbar ist und dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion

in keinem Punkt differenzierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Realteil, also die Funktion

in keinem Punkt differenzierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion in jedem Punkt differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.

Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.

Aufgabe

Bestimme zur Exponentialfunktion die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ) im Nullpunkt.


Aufgabe

Es sei eine Funktion, die nach abbildet. Die Funktion sei in (als komplexe Funktion) differenzierbar. Zeige, dass dann auch die reelle Funktion (als Funktion von nach ) differenzierbar ist (und zwar mit der gleichen Ableitung).


Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

mit Hilfe von


Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.


Aufgabe

Es sei

ein Polynom vom Grad und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .


Aufgabe *

Es sei

ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe *

Es seien

differenzierbare Funktionen und

mit . Zeige, dass man die Ableitung von als einen Bruch mit im Nenner schreiben kann.


Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.


Aufgabe

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe *

Es sei und .

a) Bestimme die Ableitung von und von .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung .

c) Bestimme die Ableitung von mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.


Aufgabe

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.


Aufgabe *

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Es sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil .


Aufgabe *

Es sei

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die -fache Hintereinanderschaltung ()

die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.


Linie und Viertelkreis.png

Aufgabe

Die Funktion

sei für negatives konstant gleich und folge für dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt und Radius . Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.


Aufgabe *

Es sei und seien

zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion , die parallel zu sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

differenzierbar ist oder nicht.


Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei und und es sei die Hintereinanderschaltung.

  1. Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
  2. Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
  3. Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei offen und seien

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit gibt.




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