Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ X(X-1) } }} { }
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 3X^5+4X^4-2X^2+5X-6 }{ X^3 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koeffizienten in der \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} in Beispiel 26.6 durch Einsetzen von einigen Zahlen für $X$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^2(X^2+1) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3-1 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3(X-1)^3 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ X^3+4X^2+7 }{ X^2-X-2 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X(X-1)(X-2)(X-3) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x^4+1 } }} { }
unter Verwendung der Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4+1
}
{ =} { { \left( x^2+ \sqrt{2} x+1 \right) } { \left( x^2- \sqrt{2} x+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^3+7x^2-5x+4 }{ x^2-3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathl{f(x)}{.}
b) Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathl{f(x)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{1\}} { \R } {x} { { \frac{ x^5+3x^3-2x^2+x-1 }{ (x-1)^2(x^2+1) } } } {.}
a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f$.
b) Bestimme eine Stammfunktion von $f$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 5x^3+4x-3 }{ x^2+1 } }} { }
mittels Partialbruchzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ x^2+1 }{ x(x-1)(x-2) } }} { }
für
\mathl{x >2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x^2+5 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x^2-5 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2x^2+x-1 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 1+x^4 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 7x^6-18x^5+8x^3-9x^2+2 }{ x^7-3x^6+2x^4-3x^3+2x-5 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Eindeutigkeit der reellen Partialbruchzerlegung.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mathl{K(X)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ X^r-1 }{ X^r } }
}
{ =} { { \frac{ X-1 }{ X } } + { \frac{ X-1 }{ X^2 } } + \cdots + { \frac{ X-1 }{ X^{r-1 } }} + { \frac{ X-1 }{ X^r } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Schreibe die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 2x^3-4x^2+5x-1 }{ 4x+3 } }} { }
in der neuen Variablen
\mathl{u=4x+3}{.} Berechne die
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
über die reelle
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
und über die
Substitution
\mathl{u=4x+3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^4-1 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ X }{ (X+2)(X+1)(X-1)(X-2) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ X^7+X^4-5X+3 }{ X^8+X^6-X^4-X^2 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 3x-5 }{ (x^2+2x+7)^2 } }} { . }
}
{} {}