Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 32/latex
\setcounter{section}{32}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{x \in \R}{} und betrachte die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {t} { f(t) = t^x e^{-t}
} {.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Extremwerte}{}{} dieser Funktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
für
\mathl{k \in \N}{} die Beziehung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, { \left( { \frac{ 2k-1 }{ 2 } } \right) } = { \frac{ \prod_{i = 1}^{k} (2i-1) }{ 2^k } } \cdot \sqrt{\pi}} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ 1 } t^x e^{-t} \, d t
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
b)
Zeige, dass die Funktion
\mathl{H(x)}{} mit
\mathdisp {H(x) = \int_{ 1 }^{ \infty } t^x e^{-t} \, d t} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
monoton wachsend ist.
c) Zeige, dass
\mathl{10! \geq e^{11} +1}{} gilt.
d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für
\mathl{x \geq 10}{} die Abschätzung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, (x) \geq e^x} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} auf dem $\R^n$ in der Tat ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(V_1, \left\langle - , - \right\rangle_1 )} {und} {(V_2, \left\langle - , - \right\rangle_2)} {}
zwei
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathdisp {\left\langle (v_1,v_2) , (w_1,w_2) \right\rangle := \left\langle v_1 , w_1 \right\rangle_1 + \left\langle v_2 , w_2 \right\rangle_2} { }
ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V_1 \times V_2}{} definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Realteil}{}{}
dieses Skalarproduktes ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
$\Vert {-} \Vert$.
a) Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
b) Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v-w} \Vert^2 + { \mathrm i} \Vert {v+ { \mathrm i}w} \Vert^2 - { \mathrm i} \Vert {v- { \mathrm i} w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Bestätige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {x+y} \Vert^2-\Vert {x-y} \Vert^2
}
{ =} { 4 \left\langle x , y \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[0,1]} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{-x^2+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{x^2+x+3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne
$\left\langle f , g \right\rangle$
im Sinne von
Beispiel 32.9.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein abgeschlossenes reelles Intervall mit
\mathl{a<b}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ { \left\{ f :[a,b] \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu
\mathl{n \in \N_+}{} und
\mathl{f,g \in V}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle_n
}
{ \defeq} { \sum_{i = 0 }^n f { \left( a+ i { \frac{ b-a }{ n } } \right) } g { \left( a+i { \frac{ b-a }{ n } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Eigenschaften eines
\definitionsverweis {Skalarproduktes}{}{}
erfüllt
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_n}{,} welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_n}{} und dem Skalarprodukt aus
Beispiel 32.9?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass in der Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von
Cauchy-Schwarz
genau dann die Gleichheit gilt, wenn
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v_1,v_2
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_1 \right\rangle } - e^{ { \mathrm i} \left\langle u , v_2 \right\rangle } }
}
{ \leq} { \Vert {u} \Vert \cdot \Vert {v_1-v_2} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {Tipp: Siehe
Aufgabe 21.6.}
Zwei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \stichwort {orthogonal} {}
\zusatzklammer {oder \stichwort {senkrecht} {}} {} {}
zueinander, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Nach
Bemerkung 32.12
beträgt dann der Winkel zwischen ihnen $\pi/2$.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, welche der folgenden Vektoren im $\R^3$ zueinander
\definitionsverweis {orthogonal}{}{}
bezüglich des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{}
sind.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 \\1\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\-8\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\-1\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$. Beweise den \stichwort {Satz des Pythagoras} {:} Für zwei Vektoren $v,w \in V$, die
\definitionsverweis {senkrecht}{}{}
aufeinander stehen, gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert^2
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?
}
{} {}
Ein Skalarprodukt ermöglicht es, von Orthonormalbasen zu sprechen.
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ heißt \definitionswort {Orthonormalbasis}{,} wenn
\mathdisp {\left\langle v_i , v_i \right\rangle= 1 \text{ für } \text{alle } i \text{ und } \left\langle v_i , v_j \right\rangle= 0 \text{ für } i \neq j} { }
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein reeller
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$. Zeige, dass für Vektoren
\mathl{v= \sum_{i \in I}a_i u_i}{} und
\mathl{w= \sum_{i \in I}b_i u_i}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \sum_{i \in I} a_ib_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der zugehörige
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
die folgenden Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {dabei sind $u,v,w \in V$} {} {.}
\aufzaehlungvier{Es ist $d( v , w ) \geq 0$.
}{Es ist $d( v , w ) = 0$ genau dann, wenn
\mathl{v=w}{.}
}{Es ist $d( v , w ) = d( w , v )$.
}{Es ist
\mathdisp {d( u , w ) \leq d( u , v ) + d( v , w )} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Vektoren. Zeige, dass $u$ genau dann
\definitionsverweis {senkrecht}{}{}
auf $v$ steht, wenn die Abstandsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(u,v)
}
{ =} { d(u,-v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} zum \definitionsverweis {komplexen Standardskalarprodukt}{}{} auf ${\mathbb C}$ einfach der \definitionsverweis {komplexe Betrag}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
zu diesem Skalarprodukt mit der Norm übereinstimmt, die man erhält, wenn man $V$ als reellen Vektorraum mit dem zugehörigen reellen Skalarprodukt auffasst.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Funktionen
\maabbdisp {f_m} { [0,1]} {{\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_m(x)
}
{ \defeq} { e^{2 \pi { \mathrm i} m x }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mathl{m \in \Z}{} im Raum der stetigen Funktionen von $[0,1]$ nach ${\mathbb C}$ ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{}
bezüglich des durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle
}
{ \defeq} { \int_0^1 f \overline{ g } dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {Skalarproduktes}{}{}
bilden. Verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ 1 } (- \ln t)^x \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die sogenannte \stichwort {Parallelogrammgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert ^2 + \Vert {v-w} \Vert ^2
}
{ =} { 2 \Vert {v} \Vert ^2 +2 \Vert {w} \Vert ^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } \left\langle v , u_i \right\rangle u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[0,1]} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{2x^3-x+3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{-5x^2+4x-7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathdisp {\left\langle f , g \right\rangle , \, \Vert {f} \Vert , \, \Vert {g} \Vert} { }
im Sinne von
Beispiel 32.9.
}
{} {}