Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 32

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}x\in \mathbb {R}$ und betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{x}e^{-t}.$

Bestimme die Extremwerte dieser Funktion.

Aufgabe

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${}k\in \mathbb {N}$ die Beziehung

$\operatorname {Fak} \,{\left({\frac {2k-1}{2}}\right)}={\frac {\prod _{i=1}^{k}(2i-1)}{2^{k}}}\cdot {\sqrt {\pi }}$

gilt.

Aufgabe *

a) Zeige, dass für  ${}x\geq 1$  die Abschätzung

${}\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt\leq 1\,$

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion ${}H(x)$ mit

$H(x)=\int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt$

für  ${}x\geq 1$  monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass ${}10!\geq e^{11}+1$ gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${}x\geq 10$ die Abschätzung

$\operatorname {Fak} \,(x)\geq e^{x}$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ${}U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe

Es seien ${}(V_{1},\left\langle -,-\right\rangle _{1})$ und ${}(V_{2},\left\langle -,-\right\rangle _{2})$ zwei euklidische Vektorräume. Zeige, dass durch

$\left\langle (v_{1},v_{2}),(w_{1},w_{2})\right\rangle :=\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle _{1}+\left\langle v_{2},w_{2}\right\rangle _{2}$

ein Skalarprodukt auf dem Produktraum ${}V_{1}\times V_{2}$ definiert wird.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

Aufgabe *

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

a) Zeige, dass bei  ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$  die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

gilt.

b) Zeige, dass bei  ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$  die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Bestätige

${}\Vert {x+y}\Vert ^{2}-\Vert {x-y}\Vert ^{2}=4\left\langle x,y\right\rangle \,.$

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit  ${}f(x)=-x^{2}+1$  und  ${}g(x)=x^{2}+x+3$.  Berechne ${}\left\langle f,g\right\rangle$ im Sinne von Beispiel 32.9.

Aufgabe

Es sei ${}[a,b]$ ein abgeschlossenes reelles Intervall mit  ${}a<b$  und sei  ${}V={\left\{f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}$.  Zu  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  und  ${}f,g\in V$  sei

${}\left\langle f,g\right\rangle _{n}:=\sum _{i=0}^{n}f{\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)}g{\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)}\,.$

Welche Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{n}$, welche nicht? Welche Beziehung besteht zwischen ${}\left\langle -,-\right\rangle _{n}$ und dem Skalarprodukt aus Beispiel 32.9?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass in der Abschätzung

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn ${}v$ und ${}w$ linear abhängig sind.

Aufgabe *

Zeige, dass für  ${}u,v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$  die Abschätzung

${}\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }}\vert \leq \Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v_{1}-v_{2}}\Vert \,$

gilt.

Tipp: Siehe Aufgabe 21.7.

Zwei Vektoren  ${}v,w\in V$  heißen orthogonal (oder senkrecht) zueinander, wenn  ${}\left\langle v,w\right\rangle =0$  ist. Nach Bemerkung 32.12 beträgt dann der Winkel zwischen ihnen ${}\pi /2$.

Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{3}$ zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.

${\begin{pmatrix}6\\1\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-8\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\-1\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\4\\-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren ${}v,w\in V$, die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}\,.$

Aufgabe

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

Ein Skalarprodukt ermöglicht es, von Orthonormalbasen zu sprechen.

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für }}{\text{alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Orthonormalbasis von ${}V$. Zeige, dass für Vektoren  ${}v=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}$  und  ${}w=\sum _{i\in I}b_{i}u_{i}$  die Gleichheit

${}\left\langle v,w\right\rangle =\sum _{i\in I}a_{i}b_{i}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ${}u,v,w\in V$).

1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   $d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w).$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {R}$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und seien  ${}u,v\in V$  Vektoren. Zeige, dass ${}u$ genau dann senkrecht auf ${}v$ steht, wenn die Abstandsgleichung

${}d(u,v)=d(u,-v)\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Norm zum komplexen Standardskalarprodukt auf ${}{\mathbb {C} }$ einfach der komplexe Betrag ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass die Norm zu diesem Skalarprodukt mit der Norm übereinstimmt, die man erhält, wenn man ${}V$ als reellen Vektorraum mit dem zugehörigen reellen Skalarprodukt auffasst.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktionen

$f_{m}\colon [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit

${}f_{m}(x):=e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}\,$

zu  ${}m\in \mathbb {Z}$  im Raum der stetigen Funktionen von ${}[0,1]$ nach ${}{\mathbb {C} }$ ein Orthonormalsystem bezüglich des durch

${}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{0}^{1}f{\overline {g}}dx\,$

gegebenen Skalarproduktes bilden. Man verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion die Beziehung

${}\operatorname {Fak} \,(x)=\int _{0}^{1}(-\ln t)^{x}\,dt\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}+\Vert {v-w}\Vert ^{2}=2\Vert {v}\Vert ^{2}+2\Vert {w}\Vert ^{2}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei  ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$  eine Orthonormalbasis von ${}V$. Zeige, dass für jeden Vektor  ${}v\in V$  die Beziehung

${}v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

$f,g\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit  ${}f(x)=2x^{3}-x+3$  und  ${}g(x)=-5x^{2}+4x-7$.  Berechne

$\left\langle f,g\right\rangle ,\,\Vert {f}\Vert ,\,\Vert {g}\Vert$

im Sinne von Beispiel 32.9.