Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 44/latex
\setcounter{section}{44}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in den Beispielen aus Aufgabe 34.23 die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} der Funktionen in den Funktionsscharen und die beiden \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} der Gesamtfunktionen nach $x$ und nach $a$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Minimum der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2+bx+c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in Abhängigkeit von
\mathkor {} {b} {und} {c} {.}
Was hat dies mit
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} { x^2y^5 - \cos \left( x^3-y^2 \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} { \left( \sqrt{x^2y^2+3} +x^3yz^2 , \, x^{11}-x^2y^3e^{xz } - \ln \left( x^2+y^2+x^4z^6+1 \right) \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^2 } {{\mathbb K}^2 } {(x,y)} {{ \left( x^3y-x^2,x^4y^2-3xy^3+5y \right) } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb K}^3 } {{\mathbb K}^2 } {(x,y,z)} { { \left( x^2yz^3- \sin x , \exp (x^4y) -2x^2z^3 \cos (xy^2z) \right) } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { { \left\{ (x,y) \in {\mathbb K}^2 \mid y \neq 0 \right\} } } {{\mathbb K} } {(x,y)} { { \frac{ x }{ y } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2 \setminus\{(0,0)\}} {\R^3 } {(x,y)} { \left( { \frac{ \sin x }{ x^2+y^4 } } , \, { \frac{ x^2y }{ x^2+y^2 } } , \, \ln (x^2+y^2) \right) } {,} in jedem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} in reellen Koordinaten und bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{.} Ebenso für $z^3, z^4, z^5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {höheren Richtungsableitungen}{}{}
der Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K}
} {(x,y)} {x^2y^3-x^3y
} {,}
die sich mit den beiden Standardrichtungen
\mathl{(1,0)}{} und
\mathl{(0,1)}{} ausdrücken lassen.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Davidraju IMG 8371.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Davidraju IMG 8371.jpg } {} {Davidvraju} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Schlange ist im ausgestreckten Ruhezustand einen Meter lang und ziemlich dünn, sie wird durch ihre Länge $[0,1]$
\zusatzklammer {gemessen vom Kopf bis zum Schlangenende} {} {}
parametrisiert. Die Schlange schlängelt sich im Zeitintervall $[a,b]$ über den Boden. Diese Bewegung wird durch eine differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {[0,1] \times [a,b]} { \R^2
} {(s,t)} { \varphi(s,t)
} {,}
beschrieben, dabei bezeichnet
\mathl{\varphi(s,t)}{} den Ortspunkt, wo sich zum Zeitpunkt $t$ der Schlangenpunkt $s$ befindet.
\aufzaehlungvier{Welche Signifikanz besitzt die Abbildung
\maabbeledisp {} {[a,b]} { \R^2
} {t} { \varphi(0,t)
} {?}
}{Welche Signifikanz besitzt die Abbildung
\maabbeledisp {} {[0,1]} { \R^2
} {s} { \varphi(s,c)
} {,}
zu einem festen Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}{Welche Signifikanz besitzt die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 \Vert { { \frac{ \partial \varphi }{ \partial s } } ( s,c) ds } \Vert
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein
\zusatzklammer {für alle} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Welche Signifikanz besitzt die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^r \Vert { { \frac{ \partial \varphi }{ \partial s } } ( s,c) ds } \Vert
}
{ =} { r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq }{ u
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktionen
\maabbdisp {\psi_u} {[0,1]} { \R^2
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_u(s)
}
{ \defeq} { \begin{cases} \begin{pmatrix} u \\- { \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 4 } } \begin{pmatrix} \cos \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \pi -4s +4u \right) \\ \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \pi -4s +4u \right) \end{pmatrix} \text{ für } 0 \leq s \leq u \, , \\ \begin{pmatrix} s \\0 \end{pmatrix} \text{ für } u \leq s \leq 1- u \, ,\\ \begin{pmatrix} 1-u \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } \end{pmatrix} + { \frac{ 1 }{ 4 } } \begin{pmatrix} \cos \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \pi +4s -4+4u \right) \\ \sin \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \pi +4s -4+ 4u \right) \end{pmatrix} \text{ für } 1-u \leq s \leq 1 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\aufzaehlungvier{Skizziere das Bild der Funktion $\psi_u$ für die Parameter
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u
}
{ =} { 0, { \frac{ 1 }{ 4 } } , { \frac{ 1 }{ 3 } } , { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige, dass die $\psi_u$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind.
}{Zeige, dass die $\psi_u$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
sind.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Kurvenlänge}{}{}
der $\psi_u$ gleich $1$ ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir definieren
\maabbdisp {\varphi} { [0,1] \times \R } { \R^2
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (s,t)
}
{ \defeq} { t \begin{pmatrix} -2 \\1 \end{pmatrix} + \psi_{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \sin^{ 2 } t } (s)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\psi_u(s)$ die Funktionsschar aus
Aufgabe 44.12
ist
\zusatzklammer {es ist also der Parameter
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ u
}
{ = }{ u(t)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \sin^{ 2 } t
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abhängig von $t$} {} {.}
Welche Eigenschaften von
Aufgabe 44.11
sind erfüllt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{\lambda \in \R}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(t,x)
}
{ =} { \sin \left( \lambda x \right) e^{- \lambda^2 t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ die
\betonung{Wärmeleitungsgleichung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial t } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} \maabb {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} beliebig oft \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {,}
die im Nullpunkt
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{}
ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in keine Richtung
\mathl{v=(a,b)}{} mit
\mathl{a,b \neq 0}{} existiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{P,Q}{} zwei komplexe
\zusatzklammer {bzw. reelle} {} {}
Polynome und
\maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K}^2
} {(x,y)} {(P(x,y),Q(x,y))
} {,}
die zugehörige Abbildung. Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
zu $\varphi$ sei in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb K}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante konstant ist.
} {Zeige durch ein Beispiel, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante nicht konstant sein muss.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige für Polynomfunktionen
\maabbdisp {f} {{\mathbb K}^n } { {\mathbb K}
} {}
direkt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{,}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
\mathl{G \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine $n$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n}}{} eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$. Zeige, dass dann für jede
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mathl{\sigma \in S_n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_{ v_n}(... D_{ v_2} (D_{ v_1}\varphi ) \ldots )
}
{ =} { D_{ v_{\sigma(n)} }(... D_{ v_{\sigma(2)} } (D_{ v_{\sigma(1)} }\varphi ) \ldots )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^3 } {{\mathbb K}^3 } {(x,y,z)} { { \left( \sin xy ,x^2y^3z^4-y \sinh z, xy^2z+5 \right) } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb K}^2 } { {\mathbb K} } {(x,y)} {xy^3-x^2y^2-4y^2 } {.}
Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
dieser Abbildung in einem Punkt
\mathl{(x,y)}{} in Richtung
\mathl{(2,5)}{.} Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor
\mathl{(2,5)}{} anwendet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass keine
\definitionsverweis {partiell differenzierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
existiert, sodass
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } (x,y) = xy \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (x,y) = y^2} { }
für alle $(x,y) \in \R^2$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass sämtliche $k$-ten
\definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{}
$0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {\varphi(x,y)
} {,}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
für die in jedem Punkt
\mathl{P \in \R^2}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 }{ \partial y \partial x } } \varphi (P)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y)
}
{ =} {f(x) + g(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { \begin{cases} xy { \frac{ x^2-y^2 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zweimal
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{}
ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_1D_2f(0,0)
}
{ \neq} { D_2D_1f(0,0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}