Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 44

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme in den Beispielen aus Aufgabe 34.23 die Ableitungen der Funktionen in den Funktionsscharen und die beiden partiellen Ableitungen der Gesamtfunktionen nach ${}x$ und nach ${}a$.

Aufgabe

Bestimme das Minimum der Funktion

${}f(x)=x^{2}+bx+c\,$

in Abhängigkeit von ${}b$ und ${}c$. Was hat dies mit partiellen Ableitungen zu tun?

Aufgabe

Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{5}-\cos \left(x^{3}-y^{2}\right).$

Aufgabe

Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left({\sqrt {x^{2}y^{2}+3}}+x^{3}yz^{2},\,x^{11}-x^{2}y^{3}e^{xz}-\ln \left(x^{2}+y^{2}+x^{4}z^{6}+1\right)\right).$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{3}y-x^{2},x^{4}y^{2}-3xy^{3}+5y\right)}.$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(x^{2}yz^{3}-\sin x,\exp(x^{4}y)-2x^{2}z^{3}\cos(xy^{2}z)\right)}.$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\left\{(x,y)\in {\mathbb {K} }^{2}\mid y\neq 0\right\}}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$

Aufgabe *

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {\sin x}{x^{2}+y^{4}}},\,{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},\,\ln(x^{2}+y^{2})\right),$

in jedem Punkt.

Aufgabe

Beschreibe die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix. Ebenso für ${}z^{3},z^{4},z^{5}$.

Kommentar:

Die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ können wir mit ${}\mathbb {R} ^{2}$ identifizieren, indem der Realteil und der Imaginärteil jeweils als eine Koordinate im ${}\mathbb {R} ^{2}$ interpretiert wird. Dies ist genau das, was gemacht wird, wenn wir uns die komplexen Zahlen als komplexe Zahlenebene vorstellen. Eine komplexe Zahl ${}z=x+iy\in {\mathbb {C} }$ mit imaginärer Einheit ${}i$, Realteil ${}x\in \mathbb {R}$ und Imaginärteil ${}y\in \mathbb {R}$ entspricht dem Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$.

Die gegebene Abbildung, die von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$ geht, in reellen Koordinaten zu beschreiben heißt nun, die entsprechende Abbildung von der komplexen Zahlenebene in die komplexe Zahlenebene anzugeben, also von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$. Zu ${}z=x+iy$ ist wegen oben klar, gehört der Punkt ${}(x,y)$. Jetzt brauchen wir noch den Punkt, den wir nach Anwenden der Abbildung erhalten. Dazu setzen wir ${}z$ in der Form ${}x+iy$ ein. Dann wird es abgebildet auf

$z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy-y^{2}.$

Dies ist einfach die binomische Formel, nur muss man aufpassen, dass ${}i^{2}=-1$ ist. Der Realteil dieser komplexen Zahl ist ${}x^{2}-y^{2}$ und ihr Imaginärteil ist ${}2xy$. Dadurch wird die Abbildung in reellen Koordinaten zu

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{2},2xy).$

In jeder Komponente der Abbildung steht ein Polynom, weshalb diese partiell integrierbar sind (alle partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten). Die Jacobi-Matrix erhalten wir nun durch Berechnung der partiellen Ableitungen in ${}x$- und ${}y$-Richtung. In der ersten Spalte stehen die Komponenten der Funktion nach ${}x$ abgeleitet und in der zweiten Spalte die nach ${}y$ abgeleitet. Wir erhalten im Punkt ${}(x,y)$ die Jacobi-Matrix

$\operatorname {Jak} (f)_{(x,y)}={\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}$

Der Rest der Aufgabe geht dann ähnlich.

 

Aufgabe

Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-x^{3}y,$

die sich mit den beiden Standardrichtungen ${}(1,0)$ und ${}(0,1)$ ausdrücken lassen.

Aufgabe

Eine Schlange ist im ausgestreckten Ruhezustand einen Meter lang und ziemlich dünn, sie wird durch ihre Länge ${}[0,1]$ (gemessen vom Kopf bis zum Schlangenende) parametrisiert. Die Schlange schlängelt sich im Zeitintervall ${}[a,b]$ über den Boden. Diese Bewegung wird durch eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon [0,1]\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(s,t)\longmapsto \varphi (s,t),$

beschrieben, dabei bezeichnet ${}\varphi (s,t)$ den Ortspunkt, wo sich zum Zeitpunkt ${}t$ der Schlangenpunkt ${}s$ befindet.

1. Welche Signifikanz besitzt die Abbildung

   $[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \varphi (0,t)?$

2. Welche Signifikanz besitzt die Abbildung

   $[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto \varphi (s,c),$

   zu einem festen Zeitpunkt ${}c\in [a,b]$?

3. Welche Signifikanz besitzt die Bedingung

   ${}\int _{0}^{1}\Vert {{\frac {\partial \varphi }{\partial s}}(s,c)ds}\Vert =1\,$

   für ein (für alle) ${}c\in [a,b]$.

4. Welche Signifikanz besitzt die Bedingung

   ${}\int _{0}^{r}\Vert {{\frac {\partial \varphi }{\partial s}}(s,c)ds}\Vert =r\,$

   für alle ${}r\in [0,1]$ und alle ${}c\in [a,b]$?

Aufgabe

Wir betrachten für ${}0\leq u\leq {\frac {1}{2}}$ die Funktionen

$\psi _{u}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

${}\psi _{u}(s):={\begin{cases}{\begin{pmatrix}u\\-{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {1}{2}}\pi -4s+4u\right)\\\sin \left({\frac {1}{2}}\pi -4s+4u\right)\end{pmatrix}}{\text{ für }}0\leq s\leq u\,,\\{\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}}{\text{ für }}u\leq s\leq 1-u\,,\\{\begin{pmatrix}1-u\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {3}{2}}\pi +4s-4+4u\right)\\\sin \left({\frac {3}{2}}\pi +4s-4+4u\right)\end{pmatrix}}{\text{ für }}1-u\leq s\leq 1\,.\end{cases}}\,$

1. Skizziere das Bild der Funktion ${}\psi _{u}$ für die Parameter

   ${}u=0,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\,.$

2. Zeige, dass die ${}\psi _{u}$ stetig sind.
3. Zeige, dass die ${}\psi _{u}$ differenzierbar sind.
4. Zeige, dass die Kurvenlänge der ${}\psi _{u}$ gleich ${}1$ ist.

Aufgabe

Wir definieren

$\varphi \colon [0,1]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

durch

${}\varphi (s,t):=t{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}+\psi _{{\frac {1}{2}}\sin ^{2}t}(s)\,,$

wobei ${}\psi _{u}(s)$ die Funktionsschar aus Aufgabe 44.12 ist (es ist also der Parameter ${}u=u(t)={\frac {1}{2}}\sin ^{2}t$ abhängig von ${}t$). Welche Eigenschaften von Aufgabe 44.11 sind erfüllt?

Aufgabe *

Es sei ${}\lambda \in \mathbb {R}$

${}f(t,x)=\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\,.$

Zeige, dass ${}f$ die Wärmeleitungsgleichung

${}{\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Zeige, dass eine Polynomfunktion ${}f\colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }$ beliebig oft stetig differenzierbar ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung ${}v=(a,b)$ mit ${}a,b\neq 0$ existiert.

Aufgabe *

Es seien ${}P,Q$ zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ sei in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ von ${}0$ verschieden.

1. Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Determinante konstant ist.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Determinante nicht konstant sein muss.

Aufgabe *

Zeige für Polynomfunktionen

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

direkt, dass

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale, ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume ${}G\subseteq V$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine ${}n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Auswahl von ${}n$ Vektoren aus ${}V$. Zeige, dass dann für jede Permutation ${}\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit

${}D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}\varphi )\ldots )=D_{v_{\sigma (n)}}(...D_{v_{\sigma (2)}}(D_{v_{\sigma (1)}}\varphi )\ldots )\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(\sin xy,x^{2}y^{3}z^{4}-y\sinh z,xy^{2}z+5\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-x^{2}y^{2}-4y^{2}.$

Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt ${}(x,y)$ in Richtung ${}(2,5)$. Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor ${}(2,5)$ anwendet.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

existiert, so dass

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=xy\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=y^{2}$

für alle ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein ${}k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass sämtliche ${}k$-ten Richtungsableitungen ${}0$ sind.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$

${}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}\varphi (P)=0\,$

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart gibt, dass

${}\varphi (x,y)=f(x)+g(y)\,$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x,y)={\begin{cases}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}\,$

zweimal partiell differenzierbar ist, und dass

${}D_{1}D_{2}f(0,0)\neq D_{2}D_{1}f(0,0)\,$

gilt.