Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 57/latex
\setcounter{section}{57}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die \definitionsverweis {Höhenlinien}{}{} und das \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} { 2(x-3)^2+3(y-1)^2 } {.}
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {BodyMassIndex.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { BodyMassIndex.png } {} {Thire} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R_+} {\R
} {(m,l)} { { \frac{ m }{ l^2 } }
} {,}
berechnet, wobei $m$ für die Masse und $l$ für die Länge eines Menschen
\zusatzklammer {oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes} {} {}
steht
\zusatzklammer {in den Einheiten Kilogramm und Meter} {} {.}
\aufzaehlungsieben{Für welche Punkte ist diese Abbildung
\definitionsverweis {regulär}{}{?}
}{Skizziere das zugehörige
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.}
}{Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem
\definitionsverweis {Gradienten}{}{}
dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
}{Wie lassen sich die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
dieser Abbildung als
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von Funktionen beschreiben?
}{Berechne die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
von $\varphi$ und bestimme ihren
\definitionsverweis {Typ}{}{}
in jedem Punkt.
}{Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf
\mathl{[30,300] \times [1,2]}{} einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
}{Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge $T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen,
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
und
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R^n} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Funktion und
\mathl{P \in \R^n}{} ein
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{}
zu $h$. Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v(0)
}
{ =} {P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zum zugehörigen
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
\mathl{\operatorname{Grad} \, h ( P )}{} aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( v )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{v(0)=w}{}
\zusatzklammer {\mathlk{w \in\R^2}{}} {} {}
zum Gradientenfeld zur Funktion
\maabbeledisp {h} {\R^2} {\R
} {(x,y)} { x^2+y^2
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( v )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{v(0)=w}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
zum
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
zur Funktion
\maabbeledisp {h} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} { x^2-y^2+3yz
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vergleiche Lemma 47.11 und Lemma 57.5.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die ersten drei Iterationen der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
zum Anfangswertproblem
\mathdisp {v' =
\operatorname{Grad} \, h ( v ) \text{ und } v(0)= \left( 3 , \, 2 \right)} { }
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y)
}
{ =} {x^3-xy^2+y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {G} {\R^n} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {J} {\R^n
} {}
\zusatzklammer {$J \subseteq \R$ ein offenes Intervall} {} {}
eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung $v'=G(v)$. Es gelte
\mathl{\varphi'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in J}{.} Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(P)
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( P )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n
} {}
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser $F$ zu $h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ < }{t_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
trifft. Zeige, dass
\mathl{\varphi {{|}}_{[t_0,t_1]}}{} konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(P)
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( P )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n
} {}
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zeitpunkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi'(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Es sei $h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.
b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) $\varphi$ nicht konstant sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {F} {\R^n } { \R^n
} {}
ein stetiges
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,}
wobei die $i$-te Komponente nur von der $i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma F}{} nur von
\mathkor {} {\gamma(a)} {und} {\gamma(b)} {}
abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Fertige eine Illustration zu Beispiel 57.6 an.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {zeitunabhängige Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {v} {3 v^{2/3} = 3 \sqrt[3]{v^2} } {.} Zeige direkt, dass dieses \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, aber nicht \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genügt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{.} Bestimme das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} und die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der zugehörigen Differentialgleichung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Lösungen der Differentialgleichung}{}{,} die zum \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} der Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x+y^2 } {,} gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Welche \definitionsverweis {linearen Vektorfelder}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^n} {\R^n } {v} {Mv } {,} sind \definitionsverweis {Gradientenfelder}{}{?} Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{.}
Zeige, dass $U$ genau dann
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist, wenn man je zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch einen
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
verbinden kann.
}
{} {Tipp: Man denke an den Beweis von
Satz 35.13.}