Euklidischer Raum/Differenzierbare Funktion/Kurve in Niveaumenge/Senkrecht auf Gradient/Fakt

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  offen und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in  ${}P\in G$  differenzierbare Funktion. Es sei

$h\colon I\longrightarrow G$

eine differenzierbare Kurve mit  ${}h(0)=P$,  die ganz innerhalb einer Niveaumenge von ${}f$ verläuft.

Dann steht der Gradient zu ${}f$ senkrecht auf ${}h'(0)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen