Kurs:Analysis 3/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	5	0	0	0	0	0	3	0	3	2	0	0	19

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine messbare Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen zwei Messräumen ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$.

2. Der Produktraum von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$.
3. Der Subgraph einer nichtnegativen numerischen Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}.$

4. ${}C^{1}$-diffeomorphe Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.
5. Das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Das Volumenmaß zu einer positiven Volumenform ${}\omega$ auf einer ${}n$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der Differentialform

$\omega =e^{xz}dx\wedge dy-xyzdx\wedge dz+(\sin(\cos(xy))+y^{10}z^{100})dy\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow H$

einer euklidischen Halbebene in sich mit der Eigenschaft, dass genau ein Randpunkt von ${}H$ in einen Randpunkt und alle anderen Punkte in das Innere der Halbebene abgebildet werden.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den ${}\mathbb {R} ^{d}$ an.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)