Kurs:Analysis 3/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	0	0	5	0	0	6	0	0	3	0	0	9	32

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein topologischer Raum ${}X$ mit einer abzählbaren Basis.
2. Ein Maß auf einem Messraum ${}(M,{\mathcal {A}})$.
3. Das Borel-Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$.
4. Ein Tangentialvektor in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Eine Orientierung auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$.
6. Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R}$.
2. /Fakt/Name
3. Der Brouwersche Fixpunktsatz.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$, die man als eine abzählbare disjunkte Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist ${}30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von ${}20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von ${}25$ cm. Über Nacht hat es ${}5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,\pi ]$, wobei ${}G$ mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{2}$ versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Halbraum und ${}P\in H$. Es gebe eine in ${}\mathbb {R} ^{n}$ offene Menge ${}V$ mit ${}P\in V\subseteq H$. Zeige, dass ${}P$ kein Randpunkt von ${}H$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Brouwerschen Fixpunktsatz.