Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Auf der
-
Sphäre
besitzt jedes
stetige
Vektorfeld
zumindest eine Nullstelle.
Es sei ein
Verklebungsdatum
,
,
über einem
topologischen Raum
gegeben.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes reelles Vektorbündel
und
Isomorphismen
derart, dass
gilt.
Es sei ein
topologischer Raum
und
ein
Garbenmorphismus.
Dann ist genau dann ein
Garbenisomorphismus,
wenn für jeden Punkt
die
Halmabbildung
ein Isomorphismus ist.
Es seien
und
Garben
auf einem
topologischen Raum
und es seien
Garbenmorphismen.
Dann ist
genau dann, wenn
für jeden Punkt
gilt.
Es sei eine
Prägarbe
auf einem
topologischen Raum
und
die
Vergarbung
zu
. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es gibt einen natürlichen
Prägarben-Morphismus
der durch
gegeben ist.
-
- Es ist
für jeden Punkt
.
-
- Die Vergarbung ist eine Garbe.
- Wenn
eine Garbe ist, so ist die natürliche Morphismus
ein Isomorphismus.
- Zu jedem Prägarben-Morphismus
in eine Garbe
gibt es eine eindeutige Faktorisierung
-
Es sei ein
topologischer Raum. Es sei
ein exakter Komplex von
Garbenhomomorphismen
von
Garben
von
kommutativen Gruppen
auf .
Dann ist auch der Komplex
exakt.
Es sei das
affine Schema
zu einem
kommutativen Ring
und es sei
.
Dann ist
Insbesondere ist der globale Schnittring gleich
.
Es sei ein
lokal beringter Raum
und
ein
affines Schema.
Dann gibt es zu jedem
Ringhomomorphismus
einen eindeutig bestimmten
Morphismus lokal beringter Räume
,
der
als globalen Homomorphismus besitzt.
Für jeden
noetherschen
topologischen Raum
gibt es eine eindeutige Zerlegung
in abgeschlossene
irreduzible Teilmengen.
Zu einem
-
graduierten Ring
und einem
homogenen Element
von einem Grad
ist
als
beringte Räume.
Insbesondere ist das
projektive Spektrum
ein
Schema.
Es sei ein
beringter Raum
und sei
ein
-
Modul
auf
.
Dann geben
globale Schnitte
Anlass zu einem eindeutig bestimmten
Modulhomomorphismus
Es sei das
affine Schema
zu einem
kommutativen Ring
und sei
ein
-
Modul
mit der zugehörigen
Modulgarbe
-
Modul
. Es sei
.
Dann ist
Insbesondere ist der globale Schnittmodul gleich
.
Es sei ein
kommutativer Ring
und es sei
eine
kurze exakte Sequenz
von
-
Moduln.
Dann liegt auf dem
affinen Schema
zu
die kurze exakte Garbensequenz
von
quasikohärenten
-
Moduln
vor.
Es sei ein
quasikohärenter
-
Modul
auf einem
noetherschen Schema
. Es sei
eine
invertierbare Garbe
auf
,
ein globaler Schnitt mit dem
Invertierbarkeitsort
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Zu einem globalen Schnitt
mit
gibt es ein
mit
in
.
- Zu einem Schnitt
gibt es ein
derart, dass
von einem globalen Schnitt aus
herrührt.
-
Es sei ein
standard-graduierter
kommutativer Ring.
Dann sind die
getwisteten Strukturgarben
auf
invertierbar.
Es sei der
projektive Raum
über einem
noetherschen Ring
und sei
eine
kohärente Garbe
auf
.
Dann gibt es ein
derart, dass
von globalen Schnitten erzeugt
wird.
Es sei ein kommutativer
noetherscher Ring
und sei
ein
endlich erzeugter
-
Modul.
Sei
. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
- Die
Lokalisierungen
sind frei vom Rang
für jedes Primideal
.
- Die Lokalisierungen
sind frei vom Rang
für jedes maximale Ideal
von
.
- Es gibt Elemente
, die das Einheitsideal erzeugen derart, dass die Nenneraufnahmen
für jedes
. frei vom Rang
sind.
- Die zu
gehörige kohärente Garbe
auf
ist lokal frei vom Rang
.
Es sei ein
noethersches Schema
und sei
ein
surjektiver
Garbenhomomorphismus
zwischen
lokal freien Garben
auf .
Dann ist der
Kern
von ebenfalls lokal frei.
Es sei ein
beringter Raum
und sei
eine
kurze exakte Sequenz
von
lokal freien Garben
auf .
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
Auf einem Schema
entsprechen sich
geometrische Vektorbündel
und
lokal freie Garben.
Ferner entsprechen sich
Vektorbündelhomomorphismen
und
-
Modulhomomorphismen.
Einem
geometrischen Vektorbündel
über
wird dabei die nach
Lemma 17.9
lokal freie
Garbe der Schnitte
zugeordnet und einem Vektorbündelhomomorphismus
wird der Modulhomomorphismus
zugeordnet, der einen Schnitt
auf den Schnitt
abbildet.
Es sei ein
algebraisch abgeschlossener Körper
und es sei
ein
zusammenhängendes
Schema von endlichem Typ
über
.
Dann ist genau dann
glatt,
wenn der
Modul der Kähler-Differentiale
lokal frei
von konstantem Rang
ist.
Es sei
der
projektive Raum
über einem
kommutativen Ring
.
Dann wird der
-
Modul
der
Kähler-Differentiale
durch die kurze exakte Sequenz
zusammen mit der universellen Derivation, die auf jeder offenen Menge
eine Funktion
auf
abbildet, beschrieben.
Es sei
der
projektive Raum
über einem
kommutativen Ring
.
Dann ist die
kanonische Garbe
gleich
.
Es sei ein
algebraisch abgeschlossener Körper
und
ein
homogenes Polynom
vom Grad
derart, dass die
projektive Hyperfläche
glatt
ist.
Dann ist die
kanonische Garbe
gleich
.
Die Picardgruppe eines faktoriellen Integritätsbereiches
ist trivial.
Es sei ein
noetherscher
lokaler
Integritätsbereich
mit der Eigenschaft, dass es genau zwei
Primideale
gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist ein diskreter Bewertungsring.
ist ein Hauptidealbereich.
ist faktoriell.
ist normal.
ist ein Hauptideal.
Es sei ein
normaler
noetherscher
Integritätsbereich
und es bezeichne
die
Divisorenklassengruppe
von
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist faktoriell.
- Jedes
Primideal
der
Höhe
ist ein Hauptideal.
- Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
- Es ist
.
Es sei ein
lokal faktorielles
noethersches
integres Schema.
Dann entsprechen sich die
invertierbaren
-
Untermoduln
der konstanten Funktionenkörpergarbe
und die
Weildivisoren
über die Korrespondenz
und
mit
für eine offene Teilmenge
.
Diese Zuordnungen sind mit den Gruppenstrukturen verträglich und dabei entsprechen sich trivale Untergarben und Hauptdivisoren. Invertierbare Ideale
entsprechen den effektiven Divisoren.
Es sei ein
glattes
Schema
über einem
algebraisch abgeschlossenen Körper
.
Dann stimmt die
Divisorenklassengruppe
von mit der
Picardgruppe
von
überein.
Ein
-
Modul
über einem
kommutativen Ring
besitzt eine injektive Auflösung.
Es sei ein
beringter Raum
und es sei
ein
-
Modul.
Dann gibt es eine
injektive Modulgarbe
auf
mit
.
Es seien
und
abelsche Kategorien
und
habe
genügend viele injektive Objekte.
Es sei
ein
kovarianter
additiver
linksexakter Funktor
und es bezeichne
die
rechtsabgeleiteten Funktoren. Dann gelten folgende Eigenschaften
- Die
sind wohldefinierte additive Funktoren von
nach
.
- Es liegt ein natürlicher Isomorphismus
vor.
- Zu jeder kurzen exakten Sequenz
in
und jedem
gibt es natürliche Verbindungshomomorphismen
derart, dass ein exakter Komplex
in
vorliegt.
-
- Zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen
kommutiert das Diagramm
-
Es sei ein noethersches Schema. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
ist ein affines Schema.
- Für jede quasikohärente Garbe
auf
ist
- Für jede kohärente Idealgarbe
auf
ist
.
Es sei ein
noetherscher topologischer Raum
der
Dimension
.
Dann ist
für
und jede
Garbe
von kommutativen Gruppen.
Es sei ein
projektives Schema
über einem
kommutativen Ring
und sei
ein
quasikohärenter Modul
auf
.
Dann stimmt die
Garbenkohomologie
von mit der
Čech-Kohomologie
zur affinen Überdeckung durch die
überein.
Es sei ein
kommutativer Ring
und
der
Polynomring
über
in
Variablen und
der zugehörige projektive Raum.
Dann ist die Kohomologie der
getwisteten Strukturgarben
gleich
Es sei der
projektive Raum
über einem
noetherschen Ring
und sei
eine
kohärente Garbe
auf
.
Dann sind die
endlich erzeugte
-
Moduln.
Es sei ein
projektives Schema
über einem
noetherschen Ring
und sei
eine
kohärente Garbe
auf
.
Dann sind die
endlich erzeugte
-
Moduln.
Es sei ein
Schema
über einem
kommutativen Ring
.
Dann entsprechen sich die folgenden Konzepte.
- Eine
invertierbare Garbe
auf
zusammen mit basispunktfreien Schnitten
-
- Ein
Morphismus
über
.
-
Dabei wird den Schnitten der
zugehörige Morphismus
und dem Morphismus
die invertierbare Garbe
zusammen mit den Schnitten
,
,
zugeordnet.
Es sei
eine ebene
projektive Kurve
über einem
algebraisch abgeschlossenen Körper
vom
Grad
.
Dann ist
Es sei eine
irreduzible
glatte
projektive Kurve
über einem
algebraisch abgeschlossenen Körper
vom
Geschlecht
und sei
eine
invertierbare Garbe
auf
.
Dann ist
Es sei eine
irreduzible
glatte
projektive Kurve
über einem
algebraisch abgeschlossenen Körper
und sei
eine
lokal freie Garbe
auf
vom
Rang
auf
.
Dann gibt es eine Filtration
mit lokal freien Garben derart, dass die
Quotientengarben
invertierbar
sind.
Es sei eine
irreduzible
glatte
projektive Kurve
über einem
algebraisch abgeschlossenen Körper
vom
Geschlecht
und sei
eine
lokal freie Garbe
auf
vom
Rang
.
Dann ist