Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Auf der - Sphäre
besitzt jedes stetige Vektorfeld zumindest eine Nullstelle.
Es sei ein Verklebungsdatum , , über einem topologischen Raum
gegeben.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes reelles Vektorbündel und Isomorphismen derart, dass
gilt.
Es sei ein topologischer Raum und ein Garbenmorphismus.
Dann ist genau dann ein Garbenisomorphismus, wenn für jeden Punkt die Halmabbildung
ein Isomorphismus ist.
Es seien und Garben auf einem topologischen Raum und es seien
Garbenmorphismen.
Dann ist genau dann, wenn für jeden Punkt gilt.
Es sei eine Prägarbe auf einem topologischen Raum und die Vergarbung zu . Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es gibt einen natürlichen
Prägarben-Morphismus
der durch
gegeben ist.
- Es ist
für jeden Punkt .
- Die Vergarbung ist eine Garbe.
- Wenn eine Garbe ist, so ist die natürliche Morphismus ein Isomorphismus.
- Zu jedem Prägarben-Morphismus
in eine Garbe gibt es eine eindeutige Faktorisierung
Es sei ein topologischer Raum. Es sei
ein exakter Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf .
Dann ist auch der Komplex
exakt.
Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und es sei .
Dann ist
Insbesondere ist der globale Schnittring gleich .
Es sei ein lokal beringter Raum und ein affines Schema.
Dann gibt es zu jedem Ringhomomorphismus einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume , der als globalen Homomorphismus besitzt.
Für jeden noetherschen topologischen Raum
gibt es eine eindeutige Zerlegung in abgeschlossene irreduzible Teilmengen.
Zu einem - graduierten Ring und einem homogenen Element von einem Grad ist
als beringte Räume. Insbesondere ist das projektive Spektrum ein Schema.
Es sei ein beringter Raum und sei ein - Modul auf .
Dann geben globale Schnitte Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus
Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und sei ein - Modul mit der zugehörigen Modulgarbe - Modul . Es sei .
Dann ist
Insbesondere ist der globale Schnittmodul gleich .
Es sei ein kommutativer Ring und es sei
eine kurze exakte Sequenz von - Moduln.
Dann liegt auf dem affinen Schema zu die kurze exakte Garbensequenz
von quasikohärenten - Moduln vor.
Es sei ein quasikohärenter - Modul auf einem noetherschen Schema . Es sei eine invertierbare Garbe auf , ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort . Dann gelten folgende Aussagen.
- Zu einem globalen Schnitt mit gibt es ein mit in .
- Zu einem Schnitt
gibt es ein
derart, dass
von einem globalen Schnitt aus herrührt.
Es sei ein standard-graduierter kommutativer Ring.
Dann sind die getwisteten Strukturgarben auf invertierbar.
Es sei der projektive Raum über einem noetherschen Ring und sei eine kohärente Garbe auf .
Dann gibt es ein derart, dass von globalen Schnitten erzeugt wird.
Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und sei ein endlich erzeugter - Modul. Sei . Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
- Die Lokalisierungen sind frei vom Rang für jedes Primideal .
- Die Lokalisierungen sind frei vom Rang für jedes maximale Ideal von .
- Es gibt Elemente , die das Einheitsideal erzeugen derart, dass die Nenneraufnahmen für jedes . frei vom Rang sind.
- Die zu gehörige kohärente Garbe auf ist lokal frei vom Rang .
Es sei ein noethersches Schema und sei
ein surjektiver Garbenhomomorphismus zwischen lokal freien Garben auf .
Dann ist der Kern von ebenfalls lokal frei.
Es sei ein beringter Raum und sei
eine kurze exakte Sequenz von lokal freien Garben auf .
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
Auf einem Schema
entsprechen sich geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben. Ferner entsprechen sich Vektorbündelhomomorphismen und - Modulhomomorphismen.
Einem geometrischen Vektorbündel über wird dabei die nach Lemma 17.9 lokal freie Garbe der Schnitte zugeordnet und einem Vektorbündelhomomorphismus wird der Modulhomomorphismus zugeordnet, der einen Schnitt auf den Schnitt abbildet.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei ein zusammenhängendes Schema von endlichem Typ über .
Dann ist genau dann glatt, wenn der Modul der Kähler-Differentiale lokal frei von konstantem Rang ist.
Es sei der projektive Raum über einem kommutativen Ring .
Dann wird der - Modul der Kähler-Differentiale durch die kurze exakte Sequenz
zusammen mit der universellen Derivation, die auf jeder offenen Menge eine Funktion auf
abbildet, beschrieben.
Es sei der projektive Raum über einem kommutativen Ring .
Dann ist die kanonische Garbe gleich .
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein homogenes Polynom vom Grad derart, dass die projektive Hyperfläche glatt ist.
Dann ist die kanonische Garbe gleich .
Die Picardgruppe eines faktoriellen Integritätsbereiches
ist trivial.
Es sei ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist ein diskreter Bewertungsring.
- ist ein Hauptidealbereich.
- ist faktoriell.
- ist normal.
- ist ein Hauptideal.
Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne die Divisorenklassengruppe von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist faktoriell.
- Jedes Primideal der Höhe ist ein Hauptideal.
- Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
- Es ist .
Es sei ein lokal faktorielles noethersches integres Schema.
Dann entsprechen sich die invertierbaren - Untermoduln der konstanten Funktionenkörpergarbe und die Weildivisoren über die Korrespondenz
und
mit
für eine offene Teilmenge .
Diese Zuordnungen sind mit den Gruppenstrukturen verträglich und dabei entsprechen sich triviale Untergarben und Hauptdivisoren. Invertierbare Ideale entsprechen den effektiven Divisoren.
Es sei ein glattes Schema über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .
Dann stimmt die Divisorenklassengruppe von mit der Picardgruppe von überein.
Ein - Modul über einem kommutativen Ring
besitzt eine injektive Auflösung.
Es sei ein beringter Raum und es sei ein - Modul.
Dann gibt es eine injektive Modulgarbe auf mit .
Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne die rechtsabgeleiteten Funktoren. Dann gelten folgende Eigenschaften
- Die sind wohldefinierte additive Funktoren von nach .
- Es liegt ein natürlicher Isomorphismus vor.
- Zu jeder kurzen exakten Sequenz
in und jedem gibt es natürliche Verbindungshomomorphismen
derart, dass ein exakter Komplex
in vorliegt.
- Zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen
kommutiert das Diagramm
Es sei ein noethersches Schema. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
- ist ein affines Schema.
- Für jede quasikohärente Garbe auf ist
- Für jede kohärente Idealgarbe auf ist .
Es sei ein noetherscher topologischer Raum der Dimension .
Dann ist für und jede Garbe von kommutativen Gruppen.
Es sei ein projektives Schema über einem kommutativen Ring und sei ein quasikohärenter Modul auf .
Dann stimmt die Garbenkohomologie von mit der Čech-Kohomologie zur affinen Überdeckung durch die überein.
Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen und
der zugehörige projektive Raum.
Dann ist die Kohomologie der getwisteten Strukturgarben gleich
Es sei der projektive Raum über einem noetherschen Ring und sei eine kohärente Garbe auf .
Dann sind die endlich erzeugte - Moduln.
Es sei ein projektives Schema über einem noetherschen Ring und sei eine kohärente Garbe auf .
Dann sind die endlich erzeugte - Moduln.
Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring .
Dann entsprechen sich die folgenden Konzepte.
- Eine
invertierbare Garbe
auf zusammen mit
basispunktfreien
Schnitten
- Ein
Morphismus
über .
Dabei wird den Schnitten der zugehörige Morphismus und dem Morphismus die invertierbare Garbe zusammen mit den Schnitten , , zugeordnet.
Es sei eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper vom Grad .
Dann ist
Es sei eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper vom Geschlecht und sei eine invertierbare Garbe auf .
Dann ist
Es sei eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei eine lokal freie Garbe auf vom Rang auf .
Dann gibt es eine Filtration
mit lokal freien Garben derart, dass die Quotientengarben invertierbar sind.
Es sei eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper vom Geschlecht und sei eine lokal freie Garbe auf vom Rang .
Dann ist